javascript、Vue　実行順序を制御したい。

function1, function2 は何なのですか？ 関数で、正しくは以下のようになるのではないですか？

function(){
    this.function1();
    this.function2();
}

で、function1 は Promise を返す非同期メソッドではないかと想像してますが違いますか？

function の実行で、その中の function1() と function2() は同期的に実行される。つまり、同期的に順番にまず function1 が呼ばれ、function1 の完了後 function2 が呼ばれる。

ところが、function1 は Promise を返す非同期メソッドなので呼ばれると即 Promise が返され、その時点で function1 は完了とみなされて、次の function2 が呼ばれて実行される。

その後、function1 から返された Promise が処理を行うということになった結果では？

つまり以下の記事に書いてあるような話になっているとか。違いますか？

JavaScript の async / await
http://surferonwww.info/BlogEngine/post/2022/11/25/async-and-await-in-javascript.aspx

であれば、解決策は上の記事に書いてあるのと同様に、以下のようにすればいいと思いますが、いかがですか？

async function(){
    await this.function1();
    this.function2();
}

【追記】

今回の話と関係あるかどうかわかりませんが、関数内で this を使う場合は、「その this は何なのか？」ということを考えてコードを書く必要があります。

MDN ドキュメントいろいろ書いてありますが、関数内での this については「関数コンテキスト」と「アロー関数」セクションに書いてあるように "関数の呼び出し方によって異なります" ので。

this
https://developer.mozilla.org/ja/docs/Web/JavaScript/Reference/Operators/this

あまり慣れていないのでご期待に添えるかわかりませんが、下記の記述ではどうでしょうか。
追記：}が一つ多かったので編集しました

save: function(){
  const promiseObj = new Promise(resolve => {
    this.function1
    resolve();
 });
promiseObj.then(() => {
  this.function2
});

function1もawaitすべきでしょうか。

save:async function(){
 await this.function1
 await this.function2
 }

だめだったら、function1と2の作りに関わるでしょうと思います。