UIオートメーションでは、背景色を取得できないと思われます。
Inspect.exeで確認できる情報が、UIオートメーションで取得可能な情報と思われるので…
%ProgramFiles(x86)%\Windows Kits<major_version>\bin<version><platform>\inspect.exe
WPFのようなコントロールでは、「背景色」という概念がないので、UIオートメーションでサポートされることは今後も無いと思われます(背景に、画像やグラデーションブラシ等を指定できるため、単一色として取得するのは無理がある)。
Control.FromHandle()では、別プロセスのオブジェクトにアクセスできないので、簡単では無さそうです。
技術的な情報は未確認ですが、以下のツールでは実現できているようですので、参考にしてみてはいかがでしょうか?
おそらく、他プロセスにアクセスするために、デバッガをアタッチしているのでは?と推測しております。
Deliver The Power Of Spy++ To Windows Forms With Our New Tool
ManagedSpy(上記オリジナルバージョンはリンク切れ。GitHubのフォーク版)
[.NET] 便利な実行時インスペクションツール(フリー/オープンソース)~丸見え&診断、動的変更も~ ※掘り出し物あり
1つ目の「ManagedSpy」は、私の環境ではビルドエラーも発生し、修正しても動作できませんでした。
2つ目で紹介されている「HawkEye2」は、ビルドもでき、動作も確認できました。
ご参考になれば幸いです。