０.はじめに
大学で線形代数の講義を受講している者です。
ざっくりと計算方法を個人的な備忘録としてまとめております。
関連学習
【線形代数】ベクトル
【線形代数】行列
【線形代数】連立方程式
【線形代数】線形空間・線形写像
【線形代数】座標
【線形代数】固有値・固有ベクトル
連立一次方程式
連立一次方程式には以下の3パターンが存在する
・交点が存在する
・2つの方程式は直線である
・交点を持たない
解き方（加減法・代入法）
\left\{
\begin{array}{ll}
x+y=1・・①\\
2x+2y=4・・②
\end{array}
\right.
加減法
①を2倍し②に合わせて差を求め計算する
代入法
①をx = 1-yと表す
そのxを②のxに代入し2(1-y) + 2y = 4と求める
解の数について
解が複数ある場合の条件
未知数の数＞式の数
これが成り立つと解が複数あることになる
掃き出し法によって単位行列にする方法があるが解が複数ある場合は単位行列にならない
零ベクトルになるケースも解が複数ある場合に起こる
掃き出し法により3行目の解が零行列になっている
\begin{pmatrix}
1 & 0 & a_1\\
0 & 1 & a_2 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
0 \\
\end{pmatrix}
解が無い場合
左側の係数行列が0であるにもかかわらず右側の定数ベクトルに値がある
\begin{pmatrix}
1 & 0 & a_1\\
0 & 1 & a_2 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3 \\
\end{pmatrix}
クラメールの公式
連立一次方程式の解を求める公式
未知数がn個ある連立一次方程式Ax = bの解は|A| ≠0であればxi = |Ai|/|A|で表される
b列を分子のi列に変形させサラスの方法を使用する
例：下行左側x₁で例えると、b₁b₂を分子の左側（1列目なので）に置き換えあとは
サラスの方法を使用し分子分母を計算する
x₂は分子2列目、サラスの方法を最初に行い0ではない事を確認しクラメールの公式を使用する
ガウスジョルダン法
掃き出し法とも言われる連立方程式を行列式で解くための方法
単位行列にすることを目的とする
行と行を足し引きし数を揃える
