０.はじめに
大学で線形代数の講義を受講している者です。
ざっくりと計算方法を個人的な備忘録としてまとめております。
関連学習
【線形代数】ベクトル
【線形代数】行列
【線形代数】連立方程式
【線形代数】線形空間・線形写像
【線形代数】座標
【線形代数】固有値・固有ベクトル
固有値・固有ベクトル
Ax = λxの場合、λを固有値、向きが変わらないベクトルを固有ベクトルという
例
A = \begin{pmatrix}
4 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}
,
P_1\begin{pmatrix}
1 \\
-2
\end{pmatrix}
A×P_1 = \begin{pmatrix}
2\\
-4\\
\end{pmatrix}
A×P_1の解を2で括る
\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
\end{pmatrix}
A×P_1の解とP_1の値が同一となった
- 括った値2のことを
「固有値」 - 同一となった値というのは向きが変わらないベクトルを
「固有ベクトル」
図解
ベクトルに行列を掛け合わせると向きと大きさが変化する
P_1の(1,0)に行列Aを掛け合わせることにより向きと大きさが変化する
定義式
固有方程式
|A - \lambda E | = 0
固有ベクトル式
Ax=\lambda x (x \neq0)
\Longleftrightarrow
(A - \lambda E) x = 0 (x \neq 0)
固有値を求める場合
行列Aの固有値を求める
A = \begin{pmatrix}
4 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}
× \lambda
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
=
0
\begin{pmatrix}
4 - \lambda & 1 \\
2 & 3 - \lambda
\end{pmatrix}
=
0
サラスの方法を用いて行列を解くと
12-7λ-λ²-2=0
(λ-2)(λ-5)=0
因数分解し解を求める
よって固有値は2,5
固有ベクトルを求める場合
固有値2,5を使用し固有ベクトルを求める
2をA-λEに代入する
\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}
- 2
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
A-λE =
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
固有ベクトル定義式：「|A-λE|x = 0」を使用する
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
= 0
\longrightarrow
\begin{pmatrix}
2x_1 + x_2 = 0 \\
2x_1 + x_2 = 0
\end{pmatrix}
x₁をαとする。x₂ = -2α
よってx₁は1、x₂は-2
固有値2の固有ベクトルはα(1.-2)
固有値5も同じように代入し固有ベクトルを求める
固有値5の固有ベクトルはβ(1,1)
対角化
対角行列
対角線上以外すべて0の行列
n次正方行列のAの固有値が並ぶ対角行列のこと
固有値が1.2.3である場合、以下のようなものを対角化行列という
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
対角化公式
P^-¹AP = D
AP = PD
例題
行列Aを対角化した場合、2,5の対角化行列になるのか確認する
A = \begin{pmatrix}
4 & 1\\
2 & 3\\
\end{pmatrix}
固有値α = \begin{pmatrix}
1 ,-2\\
\end{pmatrix}
固有値β = \begin{pmatrix}
1,1\\
\end{pmatrix}
対角化公式内のPはαとβのベクトルであるため以下になる
P = \begin{pmatrix}
1 & 1\\
-2 & 1\\
\end{pmatrix}
P⁻¹はPの逆行列
P⁻¹APを計算する
1/3\begin{pmatrix}
1 & -1\\
2 & 1\\
\end{pmatrix}
×
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
2 & 3\\
\end{pmatrix}
×
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-2 & 1\\
\end{pmatrix}
解は以下になる
\begin{pmatrix}
2 & 0\\
0 & 5\\
\end{pmatrix}
行列Aを対角化すると固有値2,5の結果となる