米田の補題は、圏論でもっとも重要な定理です（繰り返し）
圏論は、数学の基礎理論です。いままで、万物の理論
といわれていましたが、数理科学 11月号では、なんと 万物・万事・万人のための数学理論とまでいわれるようになりました
このAdventCalendar は、体験的に圏論の最も重要な定理である米田の補題を体験的に理解してもらうためにかいています
参考にしているのは、圏論の道案内です
関手
どんどん数学よりになってきます。普段のビジネスになにそれ役立つの？ 状態ではあると思いますが、もう少し我慢してください。すでに圏とほぼ同じの内部構造をもっているモノイドで、準同型を提示しました。少し条件をゆるくして、モノイドの圏よりも広い圏の圏を考えます。そのとき、圏の間の対応を関手（かんしゅ）とよびます。関手は、圏から圏への射とも考えられます。なお対応には、全射、単射、全単射があり、まぎらわしいです。全射、単射、全単射のおかげで同じ対象との間に複数の対応が存在可能で、対応は射としてとりあつかるようになります。
文章で関手を定義してみましょう。tex で図式を書きたいのですが、時間がかかります。それでのちほど、書き換えるときにします。
圏Cから圏Dへの対応Fが次の条件をみたすとき、Fを、関手といいます。対応は、対象と射の両方になります。
- 圏Cの対象と射 x-- f -->y を、圏D の射F(X) --F(f)--F(Y)に対応
- 圏Cの射の合成がF(f∘g) = F(f)∘F(g)
- 恒等射は、F(1x) = 1F(x)
単純化して言葉で理解しましょう。圏Cは、対象が３つしかないと単純化します。その３つは、X,Y,Zとします。X,Y,Zは内部構造をもっていることもあるのですが、モノイドのように無視しましょう。射は、x,y,zの間に複数とりえます。それが、ちゃんと圏Dに対応（移るという言葉がいいのでしょうか？）します。
このとき、複数の射は、対応なので減ってもいいです。
あとは、合成、恒等射が移ります。
モノイドの圏との違いは、内部構造だけで、圏を考えるのと、圏と圏の間の対象と射の対応を導入することで、圏から圏への射とするのです。内部構造のモノイドを圏に置き換えた一般化です
米田の補題川柳 関手とは射だと思えばいいだけ
先ほどは圏C、Dの対象を３つを想定しましたが、2つにして合成の条件を簡素化します。私たちは、対象２つa->b でものごとを考えるの多いので、普段の思考にちかくなります。なんかつかえそうだという気がしませんか？そして対象２つ間の射b->aを想定します。とりあえず、恒等射のように対象が同じ射は無視します。
対象の内部構造が、数学では代数的構造も持っている事例を扱うのですが、通常の企画進行は、圏だけでやり切る必要があります。そこで劇的に圏を単純化して、対象２にとどめましょう。
1.対象が１つ、射はいっぱいある、但し、その中に特殊な射である恒等射がある
2.対象が２つ、射はいっぱいある。恒等射は対象ごとに存在して、その対象そのものとする
3.対象が３つは難しいから、とりあえず考えない 関手の定義の合成が無視しやすくなるのでよいです。
もちろん対象が１つの事例でも数学的には非常に面白い事例になります。モノイドを具体例にしないと圏論は抽象的で中身がないといわれる次第です。対象2つの例で、具体事例を考えましょう。関手は対象２つの事例で定義しています。
射ですから、方向性があります。言葉で補足説明するとAが見ている猫はBが見ている猫と同じは、A->B です。B->Aがなりたつ事例です。Aは、1匹の猫しか見えなくて、Bは、その猫と別の猫もみていたら、どうでしょうか？B->A はなりたちませんよね。実際の会議の議論でも、見えてることが異なるのに、同じものだとする議論は不毛です。 この議論では、「Aに猫が見える」は対象なので圏かどうかは、無視できます。
では、圏Dです。
関手は、圏を対象とする射です。この場合は、関手は似ているにしましょう。同じを射をしたのと同様に似ているを関手にします。関手の対象は圏です。内部構造があります。それは圏です。関手は圏の構造を対応づけます。A->B,B->Aという圏Cの構造を圏Dに持ち込みます。ただ、この場合は、圏Cは、対象２つ射２つという単純構造で、しかも、圏Cと圏Dは関手がひとつというわかりやすい事例になっています
今はピンとこないと思いますが、普段つかっている知識構造がとりあえず、圏になっていて、その間の関手が設定できれば、見通しがよくなります。数学的には、モノイドという代数構造をよく扱います。それはそれですごいことができます。ただ、普段の企画進行に応用するには、会議での話題で使われるキーワードの知識体系が圏の体裁をとっていて、そこに関手をどのように設定するかになります。関手が設定できれば、準同型とできます。つまり、圏の対象は違っているけど、圏Cと圏Dは似ているとできます。
あれ、関手たる射がひとつになって簡単になりましたね。似ているという関手で、A->B,B->Aの圏Cの構造が、圏Cから圏Dに持ち込まれています。システム開発で言えば、「解決法１はロールバックできる点で解決法２」と似ているという会議での発言につかえます。
矢印の方向は、解決法１が解決法２と似ているか、解決法2が解決法1に似ているかで区別されます。ここで、関手が２つあるとして、解決法2が解決法1に似ているも加えてあげるとどうでしょうか？ なんか普段の議論でもつかえそうな気がしませんか？