アクセスが殺到による待ち時間低減案

普通に整理券を配るシステムにすればいいんじゃ
予約が早い者勝ちだからアタックされるわけで
でもそんな貧弱なハードや回線だと整理券配る段階で固まりそう

ボトルネックが何であるかを考える必要がありますね。少し実現は難しいというか根本的な対策にはなりにくいです。

仮にDBのロックの問題であり、この方法を実現するなら、DBのロックが発生していることの判定（=キューが溜まっていると判断）をPHP側で実施する必要があります。

DBのロック待ちだけであれば単純ですが、芋づる式にDBコネクションの枯渇やWebサーバーのプロセスの枯渇を引き起こしている可能性もあります。後者になってくるとPHPで処理を1次受けすることも難しくなってきますよね。

実際に考えるのであればWebサーバーまで到達させずに待ち行列を作る（amateさんがおっしゃる整理券を配る、仮想待合室方式）ほうが現実的だと考えます。

フロントエンドだけで予約集中タイミングのみ、ランダムで（実際のサーバーの状態を見ずに）ボタンの押せる、押せないを制御して交通整理させる手段も取れなくはないですが、機械的に叩くスクリプトを実行されたら意味ないですし、そういった機械的なバイパスのせいで余計に負荷が増えるおそれもあります。

いえ、その手法ではむしろ無駄な処理や通信が発生するので遅延はさらに酷いことになるでしょう。
ランダムな強制的な待ち時間を発生させるなら、PHPでサーバサイドにさせるのではなくJavaScriptを使ってクライアント側でリンクやボタンを押せなくする方がまだマシですね。

Cloudflare Waiting Roomというソリューションがあります。
https://www.cloudflare.com/application-services/products/waiting-room/

個人的な意見ですが

次のクリックまでの時間をあと何秒お待ちくださいとタイマー表示するのです。
その事によってユーザーはタイマーが動いている間は押せないと
諦めがつくし、むしろ何秒後には押せるという安心を得られます。

予約ボタン押せなかったらユーザーは諦めますか？　怒って諦めるかもしれませんね。
何秒後には押せると分かったら安心ですか？　予約が取れたわけでもないのに何が安心んなのでしょうか？

ユーザーにとっては、予約が取れることが安心です。
逆に何回も「お待ちください」が出現すると、さっき「＊秒って言ってたのにまたかよ」
となりクレームになるおそれがあります。

サーバーは当然クリックが実質減るのですから、無駄に応答する必要がなく
待ち時間は結局減らせると思うのです。

それでどれぐらい早くなるのでしょう３分が数秒になりますか？
下手すれば、タイマー表示のために一人当たりの処理が多くなって遅くなる可能性すらあります。

私は、病院に「予約システムがとても遅いのですが早くなりませんか」と要望を出すのが一番いいアイデアだと思います。