BOXとFTPに関して

BOXというのはこのサービスのことを言っていますか？(Yesである前提で回答します)

まず、根本的な違いとしてBOXはサービスでFTPはプロトコルなので基本的に比較するものではありません。
BOXと比較するのであればGoogle DriveやDropboxなどのファイル共有サービスが比較対象となり、
FTPと比較するのであればFTPS,SFTP,SCP,WebDAVなどのファイル転送・共有に利用されるプロトコルが比較対象となります。
ちなみに今の世の中でFTPを使うことは論外です。FTPは全て平文でやりとりされているためパスワードもファイルの内容もダダ漏れです。今はFTPの代わりにSFTPを使うことが多いです。

メリット・デメリットについては利用シーンや利用者によって逆転するので、どういうケースを想定しているのか限定してもらった方が回答が得られやすいかと思います。
例えば、FTPはプロトコルなのでプロトコルさえ合えばどんなツールでも利用できる(技術者にはメリット)のに対し、逆にどんなツールでも利用できるが故に手広くサポートをする必要が出てきます(サポートにとってはデメリット)。