ruby の文字列と数字の連結をする理由　どういった時に使うのか

数字連結に絞って言えば、ユーザにキーボードから何かしらの数字入力を求め、
その値を計算して出力する時、などでしょうか。(簡単な電卓プログラムを作る、など)

以下が参考になると思います。

to_iメソッド自体は他に
小数を切り捨てたり、色々な使い方があるので
興味があれば以下も読んでみてください。

１＋’1’はエラーになり計算できないが、1＋’1’.to_iだったら答えが2と計算ができると習った

リテラルで書くと全く意味がわからないですが、ユーザーの入力からだと変数にまずは値を入れると思います。更に言うとgetsとかwebのリクエストパラメータだとかだと、文字としてしか値を受け取れない。

puts "値を入力してください"
value = gets.chomp
p ["valueのクラスは、", value.class]

total = 1 + value.to_i
puts total

こうなると.to_iなしではエラーになるのは明白だと思います。