下記記事の「正規分布モデル」セクションにある共分散の導出をしたいです。
i=j であるときの分散は
$$
\int_{1000+D}^{9000+D} (x-5000)^2 dx = (4000-D)^2/3
$$
かと考えたのですが一致せずです。(実際には $ D^2/3 + (4000-D)^2/3 $ らしいです)
上の式は各辺のノイズ分を含んでいないから一致しない？と思ったのですが、どのように考えれば良いかわかりませんでした。
よろしくお願いします。
概ねその理解で合っています。
同じ直線上の辺の長さを、$M=1$ の場合
$$
X_i=H+\delta_i
$$
と書くと分かりやすいです。$H$ はその直線に共通する値で、$\delta_i$ は各辺に独立に加わるノイズです。
質問文の積分は $H$ の分散を求めるものですが、上端は $9000+D$ ではなく $9000-D$ で、さらに一様分布の密度で割る必要があります。
$$
\operatorname{Var}(H)
=\frac{1}{8000-2D}
\int_{1000+D}^{9000-D}(x-5000)^2\ dx
=\frac{(4000-D)^2}{3}
$$
一方、各辺のノイズは $\delta_i\sim\operatorname{Uniform}(-D,D)$ なので、
$$
\operatorname{Var}(\delta_i)=\frac{D^2}{3}
$$
です。$H$ と $\delta_i$ は独立だから、$i=j$ のときは
$$
\operatorname{Var}(X_i)
=\operatorname{Var}(H)+\operatorname{Var}(\delta_i)
=\frac{(4000-D)^2}{3}+\frac{D^2}{3}
$$
となります。つまり、質問に書かれている式には、各辺のノイズ $\delta_i$ の分散が入っていなかったということです。
$i\ne j$ では各辺のノイズ同士は独立なので、共通する $H$ の分だけが残ります。したがって $M=1$ では
$$
\operatorname{Cov}(X_i,X_j)
=\frac{D^2}{3}\delta_{ij}+\frac{(4000-D)^2}{3}
$$
となります。
$M=2$ の場合は、位置 $i,j$ の辺が同じ区間に入る確率が
$$
1-\frac{|i-j|}{28}
$$
なので、共通部分の分散にこの確率を掛けて
$$
\operatorname{Cov}(X_i,X_j)
=\frac{D^2}{3}\delta_{ij}
+\frac{(4000-D)^2}{3}
\left(1-\frac{|i-j|}{28}\right)
$$
となります。
