共分散の導出

解決したいこと

下記記事の「正規分布モデル」セクションにある共分散の導出をしたいです。

自分で試したこと

i=j であるときの分散は

$$
\int_{1000+D}^{9000+D} (x-5000)^2 dx = (4000-D)^2/3
$$

かと考えたのですが一致せずです。(実際には $ D^2/3 + (4000-D)^2/3 $ らしいです)
上の式は各辺のノイズ分を含んでいないから一致しない？と思ったのですが、どのように考えれば良いかわかりませんでした。
よろしくお願いします。