このような画面を作成したい

これは「何らかの目的で独立するアプリケーションを作りたい」のか,あるいは「VSCodeの拡張機能を作成したい」のかどちらでしょうか？
背景となる情報が何もないので,どう回答すべきかも不明です.

大前提として、HTMLをブラウザで開いてもファイルの読み書きは出来ません。これはセキュリティーの都合ですね。（「ウェブサイトを開いただけで、PC内にウイルスが……」という事を避ける為です）

ファイルとして保存は出来ないですが、ブラウザ上に情報を残すことは出来ます。localstorageと呼ばれる機能です。これは文字列や数字をブラウザ上に保存しておくものですが、大量のデータを保存するのには向いていません。というのも、localstorageはあくまでちょっとしたデータを保存しておくために作られているからです。実際、localstorage内のデータが増えすぎるとブラウザが勝手に古いデータを消すらしいです。
つまり、デモアプリを作る程度ならlocalstorageが第一選択ですが、「実用できるアプリを作りたい」ならlocalstorageは避けるべきでしょう。

「実用できるアプリを作りたい」のであれば、electronやNW.jsといったツールを使う必要があります。これらを一言で言うと「セキュリティーが緩いブラウザ」であり、JavaScriptからローカルファイルを弄ったりする事が出来ます。（確か、VSCodeはelectronで作られていた気がします。あと、RPGツクールはNW.jsだったはずです。間違っていたらすみません）
electronやNW.jsは使いこなすのが難しいですが、慣れてしまえば簡単にアプリケーション開発を出来るようになります。

参考になれば幸いです。