ハミルトンの運動方程式の導出

「定数cを導入...」という文中での「定数」という単語は、τに依存しない固定値を意味するのではなく、あくまで異なる式を結びつけるためのパラメータを意味していると考えられます。
（当然、数学における円周率や自然対数の底のような「固定値の定数」でもありません）

物理学ではこのようなものでも、説明上「定数」と表現することがあります。

質問中の文脈でいえば、cの実体は固定値というよりもτの関数になります。よって、τが変化すれば、cもそれに応じて当然変化し得ます。

（言葉遊びですが、「あるτにおいては、cは固定の数値（τ以外の変数の影響を受けない）なのだから、cは"定数"だ」と主張することも可能かもしれません）

大事なのは、任意のτに応じてcの値が求められ、その共通のcを用いて式(5.21)と式(5.22)の形に表せるということです。

つまり、cという共通のパラメータを用いて、式(5.20)を分解し、式(5.20)に内在する各項の関係性を別の切り口で表現しているというのが、質問の冒頭にある部分の要旨になります。

補足

(5.20)の両辺を

\frac{d\theta(\tau)}{d\tau}

で割り返し、

\frac{\frac{dK(p(\tau))}{dp(\tau)}}{\frac{d\theta(\tau)}{d\tau}} = c

とすれば、(5.21)が得られます、

(5.22)は

c \frac{d\theta(\tau)}{d\tau}

=\frac{\frac{dK(p(\tau))}{dp(\tau)}}{\frac{d\theta(\tau)}{d\tau}} {\frac{d\theta(\tau)}{d\tau}}

=\frac{dK(p(\tau))}{dp(\tau)}

として得られます。

比例式を解き、定数cを導入し

この表現はプログラマー(私)には理解できません。(数学表現です。このまえもプログラマーは64bit有理数、数学者は無理数の違いが理解できないかたがいました)

深雑な式を定数cに置き換えます。

でしょうか？

5.20の右辺の式　ｄθ(t) / ｄｔ　を左辺へ追いやると左辺は複雑な式になります。

でも、右辺は5.21の右辺と一致します。

一方、複雑になった5.20の右辺の式に目を向けると、ｄｐ(ｔ)　/ dt 以外の複雑な式が煩わしくなります。そこで数学学者は定数cを導入するというアンポンタンな用語(魔法の言葉)をもちます。定数cを置き換えた式と5.21の左辺と比べて下さい。

なんとゆうことでしょう。煩わしい式が匠の定数ｃに置き換わり、今まで躓いていた式が整理整頓されました。

尚、5.22の式はベイズさんが試行錯誤で発見した式であり、プログラマー(私)は素直に受け入れ、証明はしません。
私には左辺のｄｐ(ｔ)　と　右辺のｄθ(t) を交換できるていどで、後は興味がある方が第３の公式を当てはめ証明して下さい。