【無限遠点を巡る数理】原始座標群(Primitive Coordinate Group)なる「事象の墓場」概念の設定

繰り返し用いる概念(Concept)なのでとりあえず定義しておきます。

#CVCM=等速円運動（Constant Velocity Circular Motion）
#Radian=角度（60分割）
CVCM<-function(Radian){
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",col=rgb(0,1,0),main="Infinity Circle",xlab="cos(θ)",ylab="sin(θ)")

#塗りつぶし（円）
polygon(cx, #x
cy, #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=c(200,200,200)) 　#塗りつぶす色
text(0,0,"(0,0,0,…)",col=rgb(1,0,0))
text(cx[Radian],cy[Radian],"(Inf,Inf,Inf,…)",col=rgb(1,0,0))
segments(cx[Radian],cy[Radian],0,0,col=rgb(1,0,0))

#凡例
legend("bottomright", legend=c("side=2π*Inf","radius=Inf"), lty=c(1,1), col=c(rgb(0,1,0),rgb(1,0,0))) 
}
#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,59, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　CVCM(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "CVCM02.gif")

#観測原点(Observation Origin)と観測対象(Observation Target)。距離0と距離無限遠Inf(inity)そして原始点(Primitive point)。

観測次元数無制限(Observation Dimensions Unlimited)かつ観測距離無限(Unlimited Observation Length)の状況から出発します。この時点で距離概念(Distance Concept)として成立し得るのは以下の2つ。

• 観測原点(Observation Origin)=観測対象(Observation Target)={0,0,0,0,…,0}あるいは{Inf(inity),Inf(inity),Inf(inity),…,Inf(inity)}と置いた場合の距離(Distance)0
• 次元数無制限(Dimensions Unlimited)の観測原点{0,0,0,…,0}と観測対象{Inf(inity),Inf(inity),Inf(inity),…,Inf(inity)}を結ぶ距離無限遠Inf(inity)。

以降、前者を特に原始点(Primitive point)と呼ぶ事にします。

#原始線(Primitive Line)/原始円(Primitive Circle)/原始球面(Primitive Shere)そして原始座標集合(Primitive Coordinate Set)/原始座標系(Primitive Coordinate System)。

この展開から片側無限数列(One Side Infinity Sequance)としての無限直線(Unlimited/Inf(inity) Line)概念が成立しますが、観測原点0で固定されているだけなので距離Inf(inity)を半径(Radius){0,r}の値に取る無限円(Unlimited/Inf(inity) Circle)や無限球面(Unlimited/Inf(inity) Sphere)の概念も並行成立してしまいます(というか、この段階の数理にはそれを峻別する手段がない)。これを以降それぞれ原始線(Primitive Line)/原始円(Primitive Circle)/原始球面(Primitive Shere)と呼び分ける一方で(次元抽出の明示がない限り)原始線=原始円=原始球面が成立するとし、さらに先に述べた原始点(Primitive point)を加えた集合を以降原始座標集合(Primitive Coordinate Set)と呼ぶ事にします。

• 極座標系(Polar Coordinates System)でいうと距離集合(Distance Set){0,r}={0,Inf(inity)}、角度集合(Angle Set)∅n(n=0)={}(空集合)のみが成立している状態。ただし中心から円弧上の任意の点に伸ばした垂線は全て垂直に交わるので、状況により角度集合(Angle Set)∅n(n=0):-π/2ラジアン(90度)が成立。
• 直交座標系(Cartesian Coordinate System)でいうとピタゴラスの定理(Pythagorean theorem)半径r=sqrt(X^2+Y^2+Z^2…)及びその演算結果集合たる一様分布(Uniform Distribution)/連続一様分布(Continuous Uniform Distribution))Αn{n=0,Inf(Inity)}{Inf(inity),Inf(inity),Inf(inity)…}のみが成立している状態。

こういう観点から見た場合の原始座標集合を原始座標系(Primitive Coordinate System)と呼ぶ事にします。

#原始座標群(Primitive Coordinate Group)の設定を試みる。

原始点、原始線、原始円、原始球面は次元増減演算の結果集合でもあるので群論(Group Theory)の概念が導入可能かもしれません。

• 単位元(Identity Element)として観測原点Od(d(imention)=0,1,2,3,…,Inf(inity))={0,0,0,0,…,0}を置く。
• 正元(Reguler Erement)としてΑd(d(imention)=1,2,3,…,Inf(inity)){…原始点(Primitive point)Α(d),原始線(Primitive Line)Α(d+1),原始円(Primitive Circle)Α(d+2),原始球面(Primitive ShereΑ(d+3))…}を置く。
• 逆元(Inverse Erement)としてAd(d(imention)=1,2,3,…,Inf(inity)){…原始点(Primitive point)Α(d-3),原始線(Primitive Line)Α(d-2),原始円(Primitive Circle)Α(d-1),原始球面(Primitive Shere)Α(d)…}を置く。
• とりあえず閉性(Closure)も結合法則(Associative Law)も破れない。

私にとってはこの考え方の導入(Introduction)がN次元概念(NDimension Concept)の見え方(Appearance)/見せ方(Presentation)上も、群論(Group Theory)概念の理解上も大きな画期となりました。

• 原始座標群(Primitive Coordinate Group)X(d)(d(imention)=0,1,2,3,…,Inf(inity)){原始点(Primitive Point)(0)=原始線(Primitive Line)(0)=原始円(Primitive Circle)(0)=原始球面(Primitive Sphere)(0),…,原始球面(d-3),原始円(d-2),原始直線(d-1),観測原点(Observative Origin)(d),原始直線(d+1),原始円(d+2),原始球面(d+3),…,原始点(Inf)=原始直線(Inf)=原始円(Inf)=原始球面(Inf)}

なお…
【オイラーの多面体定理と正多面体】正方形における平方対角線と立方体における立方対角線の関係について。

• 原始点(x,y,z,…)=x=y=…=0 ＊観測原点(Observative Origin)(d=0)や観測対象(Observative Target)(d=Inf(inity))と相似形にある。
• 原始直線(x,y,z,…)=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(x^2+y^2+z^2)=sqrt(x^2+y^2+z^2,…) ＊デカルト座標系の距離単位1に対する対角線。2次元sqrt(2),3次元sqrt(3)…d(imension)に対してsqrt(d(imension))。
• 原始円(sqrt(x^2+y^2),φ)=(sqrt(x^2+y^2)*cos(φ),sqrt(x^2+y^2)*sin(φ)i)なおφ=arccos(x/sqrt(x^2+y^2))
• 原始球面(sqrt(x^2+y^2+z^2),φ,θ)=(sqrt(x^2+y^2+z^2)*sin(θ)cos(ϕ)i, sqrt(x^2+y^2+z^2)*sin(θ)sin(ϕ)j,sqrt(x^2+y^2+z^2)*cos(θ)k)なおφ=arccos(x/sqrt(x^2+y^2)),θ=arccos(z/sqrt(x^2+y^2+z^2))

へぇ、こういう考え方も出来るんだ…

#虚数(Imaginal Number)/複素数(Complex Number)概念との関係。

ただしこの原始観測系(Primitive Observation System)において、実体として存在するのは観測原点と観測対象への距離、およびの結果得られる観測対象の座標だけであり、円や球面が「軌跡として想定される」のは、まだ以下の概念の導入前で可能性範囲(Range of Possibilities)の縮約(Reduction)が不可能だからに過ぎません。

• 1の概念
• -1や2や直径(Diameters)/対蹠(Antipodess){-r,0,r}sの概念

正規分布(Normal Distribution)関連の計算環境整備に着手したガウスが、その一方で分散(Variance)概念を知らず「誤差なんてサンプル数が無限大になれば消えちゃう」程度にしか考えてなかった逸話を思い出しますね。
【無限遠点を巡る数理】無限遠点(Infinity)としての正規分布と分散概念の歴史

そう、実はかかる原始座標集合には普通の直線/円/球面なら備えていてしかるべき性質の多くが欠如しているのです。

①モンテカルロ法(MC=Monte Carlo method)の導入結果
【初心者向け】「モンテカルロ法」概説

• 半径がInf(inity)の時、円の面積は理論上π*Inf^2=Inf
• 半径がInf(inity)の時、球の体積は理論上4/3πInf^3=Inf

②半径と直径の概念の導入結果
【無限遠点を巡る数理】無限直線(Infinity Line)/無限円(Infinity Circle)/無限球面(Infinity Sphere)そして無限トーラス(Infinity Torus)?

• 半径がInf(inity)の時、直径はInf*2=Inf
• 直径がInf(inity)の時、半径はInf/2=Inf

③円/球面/球を巡る一般公式の導入結果
【初心者向け】半径・直径・円周長・円の面積・球の表面積・球の体積の計算上の往復

• 半径がInf(inity)の時、円周長は2π*Inf=Inf
• 半径がInf(inity)の時、円の面積はπ*Inf^2=Inf
• 半径がInf(inity)の時、球の表面積は4π*Inf^2=Inf
• 半径がInf(inity)の時、球の体積は4/3πInf^3=Inf

④挟み撃ち法(Squeeze Theorem)による円周率の推定
そこでは無限円に接して接近を続ける外接多角形と内接多角形の境界線が消失する。まるでブラックホール?
【無限遠点を巡る数理】観測距離無限状態と観測次元数無限状態がもたらす「観測値分断問題」について。

まさしく死体累々状態。これが「事象の墓場(Event Horizon)」そのものの振る舞い？ その代わり円状や球状に顕現する可能性領域はある意味虚数(Imaginal Number)の一種といえそうで、それならある種の複素数表現(Complex Representation)も可能そうですが、正直言ってこんなオブジェクト指向プログラミング（OOP=Object-Oriented Programming）でいうところの抽象クラス最上流祖型(The Deep One)にそんな手間を掛ける意味がないというのが本当の所なのかもしれません。