最近悩んできた問題についての画期的解決方法を得ました。
[数学] テイラー展開や球面調和関数についてメモ
数学における級数 (Series) とは、ひと口に言えば数や関数など互いに足すことのできる数学的対象の列について考えられる無限項の和のことである。
要するに…
要は「なにかしら意味のある数字の集まりの和」ということですね。下の「テイラー展開」などでも出てきますが、理解するイメージとしては「ある集まりの和」を「それがなにか」で意味付けするもの、と考えるといいかなと思います。例えば、Sin/Cos関数をいくつか集めて、別の周期的な関数にすることを「フーリエ級数」と言ったりする、という具合です。
私の投稿だとこの辺りで悪戦苦闘…
【初心者向け】フーリエ解析を可視化する。
三角波（Triangular Wave）の場合(実数部に現れる)
放物線（Parabola）の場合(実数部に現れる)
ノコギリ波（Sawtooth Wave）の場合(虚数部に現れる)
矩形波（Square wave）の場合(虚数部に現れる)
テイラー展開（Taylor expansion）とは、無限回微分可能関数fから、テイラー級数（Taylor series）と呼ばれる冪級数を得ることを言う。名称は数学者ブルック・テイラーに由来する。
私の投稿だとある意味テーラー級数の簡易版、すなわち原点周りの計算に特化したマクローリン級数を巡るこの辺りで悪戦苦闘…
【Rで球面幾何学】オイラーの公式を導出したマクローリン級数の限界？
①ネイピア数exp(1)(2.718282)を底(root)とする自然指数関数e^xから出発する。この不思議な無理数(Irrational Number)は-Inf→0→Infの範囲の均等尺(公差1の等差数列)を0→1→Infの範囲の対数尺(公比ネイピア数の等比数列)に射影すると現れる。
自然指数関数e^xのマクローリン級数
②この形からe^x=Cosh(x)+Sin(x)が導出される。
Cosh(x)=(exp(-x)+exp(-x))/2のマクローリン級数
Sinh(x)=(exp(-x)-exp(-x))/2のマクローリン級数
③Cosh(x)のマクローリン級数の符号の位置を弄るとCos(x),Sinh(x)のマクローリン級数の符号の位置を弄るとSin(x)となる(オイラーの思い付いた天才的パラダイムシフト!!)。こうして複素数表現(Complex Expression)の概念が導入されるのである。
Cos(x)=(exp(-xi)+exp(-xi))/2のマクローリン級数
Sin(x)=(exp(-xi)-exp(-xi))/2iのマクローリン級数
④そして両者を再統合した結果が著名なオイラーの公式Cos(x)+Sin(x)iとなる。
前述の級数の説明の通り、「意味のある数字のあつまりの和」が級数です。そしてテイラー級数とは、「無限回微分可能関数から得たべき乗数の和」ということですね。
ここから話は「基底」と「基底関数」と「線形接続」の関係に発展していきます。私の投稿だと以下の辺りで悪戦苦闘…
【無限遠点を巡る数理】等差数列と等比数列①関数列との関係は？
【無限遠点を巡る数理】等差数列と等比数列②基底関数概念の導入
突然の基底関数の説明がなぜ入ったのかと言うとｗ
↑のテイラー展開で得られた級数はまさにこの「基底関数」が関係していると思います。（ここは「自分が」そういう理解している、という意味です；）どういうことかというと、参考に載せたSin(x)の関数に対して、べき級数で近似を行いました。
そしてそれは、足し込む項が増えるごとに精度があがっていくものでした。
よくみると、ひとつひとつの項が関数になっていて、それの実数倍を足しているのが分かります。
つまり基底関数の線形結合で表されている と言い換えることができます。
私が悩んでた「ベクトルの世界と関数列の世界をどう統合するか」なんて些事を最も簡単にすっ飛ばした!! どうやら「数学素人」はこれくらい大胆で良い様です？ そしてとりあえず、この投稿について現状の私が食い切れるのはここまでの様だ？