PythonControlで伝達関数と状態方程式を変換する

###目的
Python Controlで、伝達関数と状態方程式を変換する

###事前準備
PythonControlをインストールする

###状態方程式とは
線形時不変システム(LPIシステム)において、状態方程式は以下の式によって表される。

\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t) \\
y(t)=Cx(t)+Du(t)

uがシステムへの入力、yがシステムの出力であり、xがシステムの内部状態を示す。

wikipedia：状態方程式

###伝達関数とは
伝達関数とは、システムへの入力を出力に変換する関数のことをいう。以下の式によって表される。

G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_1s^3+b_2s^2+b_3s^1+b_4}{a_1s^3+a_2s^2+a_3s^1+a_4}...

wikipedia：伝達関数

###状態方程式と伝達関数との関係

状態方程式をラプラス変換すると、

sX(s)=AX(s)+BU(s) \\
Y(s)=CX(s)+DU(s)
sX(s)-AX(s)=BU(s) \\
(sI-A)X(s)=BU(s) \\
X(s)={(sI-A)}^{-1} BU(s) \\

よって、伝達関数G(s)は

G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{{(sI-A)}^{-1} BU(s) +DU(s)}{U(s)}=(sI-A)^{-1} B +DU

から求めることができる。
Python Controlではこの計算を行う関数control.ss2tfとcontrol.tf2ssが用意されている。

###伝達関数から状態方程式への変換control.ss2tf

ss2tf(sys)
線形システムを状態空間の形式に変換する。sysが既に状態空間であっても常に新しいシステムを作成する。
ss2tf(A, B, C, D)
　状態方程式と出力方程式の行列から状態空間の形式に変換する。

• Parameters:
• sys: 状態空間
• A: System 行列
• B: Control 行列
• C: Output 行列
• D: Feedthrough 行列
• Returns
• out: 伝達関数

bdalg-matlab_1.py

#!/usr/bin/env python
from control.matlab import *    # MATLAB-like functions

# System matrics
A1 = [[0, 1.], [-4, -1]]
B1 = [[0], [1.]]
C1 = [[1., 0]]
sys1ss = ss(A1, B1, C1, 0)
sys1tf = ss2tf(sys1ss)
print sys1ss
print sys1tf

./bdalg-matlab_1.py
A = [[ 0.  1.] [-4. -1.]]
B = [[ 0.] [ 1.]]
C = [[ 1.  0.]]
D = [[0]]

 1
-----------
s^2 + s + 4

###伝達関数から状態方程式への変換control.tf2ss

tf2ss(sys)
tf2ss(num, den)

伝達関数の分子係数(num)と分母係数(den)から状態方程式を作成します。

• Parameters:

• sys: LTIシステム

• num: 分子の多項式係数

• den: 分母の多項式係数

• Returns

• out: 状態空間

bdalg-matlab_2.py

#!/usr/bin/env python
from control.matlab import *    # MATLAB-like functions

sys2tf = tf([1, 0.5], [1, 5]);
sys2ss = tf2ss(sys2tf);
print sys2tf
print sys2ss

 ./bdalg-matlab_2.py 

s + 0.5
-------
 s + 5

A = [[-5.]]
B = [[ 1.]]
C = [[-4.5]]
D = [[ 1.]]

###状態方程式の加算
PythonControlでは、状態方程式の加算を行うことができます。

./bdalg-matlab_3.py

#!/usr/bin/env python
from control.matlab import *    # MATLAB-like functions

# System matrices
A1 = [[0, 1.], [-4, -1]]
B1 = [[0], [1.]]
C1 = [[1., 0]]
sys1ss = ss(A1, B1, C1, 0)
sys1tf = ss2tf(sys1ss)

sys2tf = tf([1, 0.5], [1, 5]);
sys2ss = tf2ss(sys2tf);

# Series composition
series1 = sys1ss + sys2ss;
print series1

$ ./bdalg-matlab_3.py

A = [[ 0.  1.  0.]
 [-4. -1.  0.]
 [ 0.  0. -5.]]

B = [[ 0.]
 [ 1.]
 [ 1.]]

C = [[ 1.   0.  -4.5]]

D = [[ 1.]]

###サンプルコード
サンプルコードは以下に格納。
https://github.com/nnn112358/python-control_test

###参考
PythonControlをインストールする
PythonControlで1自由度系の伝達関数を求める。
PythonControlで2自由度系の伝達関数を求める。