ダイアログボックスだけをスクリーンショットしたい

OSがWindows10以降なのであれば、「windows + shift + s」はいかがでしょうか？

＞「windows + shift + s」
でしたのですが、反応しませんでした。

OSはWindows10以降でしょうか？
そうであれば、以下の手順で利用できるようになるかもしれないです。

＞右下に出てくる通知をクリック
なにか見本みたいなものはないですか

ポイントは切り取り&スケッチですね。これもちゃんと
インストールされています。

インストールされているということは、「切り取り&スケッチ」自体は起動できるということですね。
「切り取り&スケッチ」起動後、新規ボタン押下で画面全体が灰色になりますか？
灰色になれば、その状態からドラッグアンドドロップで好きな範囲を切り取ることができます。

クリップボードの保存ですが、少し前まではちゃんと保存されていました。短い間で保存先が変わってしまうことがありますか。私は保存先をWordpadをチェックしていますが、別の場所ではないでしょうか

クリップボードに保存された画像をWordpadに貼り付けることで確認されているということでしょうか？
少し誤解がありそうなので補足しておくと、クリップボードとは「Ctrl＋C」や「PrintScreenキー」・「切り取り&スケッチ」などで一時的にテキストや画像が保存されるもののことです。

左上の四角のダイアログボックスだけをスクリーンショットする方法はないでしょうか

ダイアログボックスではなく、コンテキストメニューでは？

Windows OS 付属のペイントに画像を貼ってトリミングしてはいかが？