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数学メモ


動機


  • 長らく数学から離れているので、基本から思い出すためのメモ。まずは定義を復習するところから。

  • 自分にとって復習のためと、他に記事書くときに毎回基本から書いていると大変なので参照先として残しておきたい。

  • 記法もメモっておく。今更それ書くの?みたいなのは、どちらかというとMathJaxの例として残している。

  • qiitaにある他の数学の記事を読む際に、定義、性質を思い出すために使いたい


定義以前の話


  • 公理(axiom):その理論体系において理由ぬきに成り立つ前提条件、仮定のこと。

  • 定義(definition):数学的な概念や、数学的対象のもつある性質に、名前を付けること。

  • 命題(proposition):真か偽かを示せる文章や式のこと。公理と定義から論理的に導いた数学的対象の性質のうち、定義から比較的簡単に導けるものにこれがついていることが多い。命題のうち重要なものは定理と呼ばれる。

  • 補題(lemma):定理を導くために使われる命題。長い証明などで段階的に定理を証明するために、重要な性質として補題を切り出すことがある。

  • 定理(theorem):命題のうち、自明ではなく、応用範囲が広かったり、分野を関連づけるような、比較的影響の大きいものに付与される。

  • 系(corollary):定理から直ちに導かれる重要な命題。

  • 予想:命題や定理の候補ではあるが、厳密に証明されていないため、まだ命題、定理になっていない文章や式。


集合論

集合論メモ に移行。


代数学


定義 (半群 , Semigroup)

集合 $G$ とその上の二項演算 $\cdot : G \times G \rightarrow G$ を考える。

このとき組 $(G, \cdot)$が以下を満たすとき、半群という。

(1) 結合律

$\forall a,b,c \in G \: , \: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$


定義 (マグマ , magma)

集合 $G$ に、二項演算 $\cdot : G \times G \rightarrow G$ を定める。このとき、組 $(G, \cdot)$ をマグマと呼ぶ。

半群とは、結合律が成り立つマグマのことである。


定義 (モノイド , monoid)

単位元をもつ半群をモノイドと呼ぶ。

モノイドは、「ただひとつの対象をもつ圏」と捉えることもできる。


定義 (群, Group)

集合 $G$ に対し、写像 $\cdot : G \times G \rightarrow G$ (演算)が与えられ、以下を満たすとき、集合と演算の組 $(G, \cdot)$ を群という。

(1) 結合法則

 $\forall a,b,c \in G \: , \: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $

(2) 単位元の存在

 $\forall a \in G \: , \: \exists e \in g \: , s.t. \: a \cdot e = e \cdot a = a $

(3) 逆元の存在

 $\forall a \in G \: , \: \exists a^{-1} \: , s.t. \: a \cdot (a^{-1}) = (a^{-1}) \cdot a = e $

半群のうち、単位元と逆元が存在するものが群である。

$\forall a \in G \\: , \\: \exists a^{-1} \\: , s.t. \\: a \cdot (a^{-1}) = (a^{-1}) \cdot a = e $


定義 (部分群, Subgroup)

集合 $G$ に積演算 $\cdot$ を定義するとき、$(G, \cdot)$が群になっているとする。

このとき $G$ の部分集合 $H$ について、$G$ の積演算を $H$ に限った際に $H$ が群となるとき、$H$ は $G$ の部分群であるという。

つまり $a, b \in H$ に対し $a \cdot b \in H$ であって(積演算について閉じている)、かつ、この演算に関し次を満たす。

(1) 単位元$h$の存在

  $\forall a \in H \ ,\ \exists h \in H \: s.t. \: a \cdot h = h \cdot a$

(2) 逆元$a^{-1}$の存在

 $\forall a \in H \: , \: \exists a^{-1} \in H \: , \: s.t. \: a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = h$

$H$ が $G$ の真部分集合であるとき、 $H$ を $G$ の真部分群という。

また $G$ を $H$ の拡大群という言い方をすることもある。


定義 (準同型 , Homomorphism)

$G, G'$を群とし、写像 $\varphi : G \rightarrow G'$を写像、「$\cdot$」を群の積演算とする。

このとき、$\forall a, b \in G , \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$ となるものを準同型(homomorphism)という。

$a \cdot b$ は $G$ における積, $\varphi(a) \cdot \varphi(b)$ は $G'$ における積である。

$\forall a, b \in G , \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) $


定義 (同型, Isomorhism)

準同型で全単射なものを同型という。


定義 (可換群, アーベル群)

群演算 $\cdot$ が可換な群 $(G,\cdot)$、すなわちどの二つの元 $g,h \in G$ の演算結果 $g \cdot h$ も元の順番に依らず定まる群を、可換群またはアーベル群という。

つまり、群の定義にあった(1)結合法則、(2)単位元の存在、(3)逆元の存在に加え、

(4) 交換法則

$\forall g, h \in G \: , \: g \cdot h = g \cdot h$

も成り立つ群 $(G, \cdot)$ が可換群である。


定義 (巡回群)

群 $G$ がただ一つの元 $g$ から生成されるとき、つまりどの元も $g$ の整数冪として表せるとき、$G=<g>$ を巡回群といい、 $g$ を生成元という。

生成元ではなく原始元ということもある。

$\exists g \in G \: s.t. \: G=<g>=\{ g^n | n \in Z \}$

$\exists g \in G \\: s.t. \\: G=\<g\>=\\{ g^n | n \in Z \\}$


定義 (群の位数 , order)

群 $G$ の位数 $|G|$ とは、群の集合に入っている元の数である。


定義 (元の位数 , order)

巡回群 $G$ の元 $g \in G$ について $g^n = 1$ となる最小の正の整数 $n \in \mathbb {Z}$ を $g \in G$ の位数あるいは周期という。


定理 (有限巡回群の位数)

有限巡回群 $G$ の位数 $|G|$ は、元 $g \in G$ の位数と一致する


定理 (有限群の位数)

有限群 $G$ の元 $g \in G$ の位数は $G$ の位数 $|G|$ の約数になる。


定義 (オイラーのトーシェント関数)

正の整数 $n \in \mathbb {N} $ に対して、 n と互いに素である 1 以上 n 以下の自然数の個数を与える関数を、オイラーのトーシェント関数という。

$\varphi (n)=\#\{ \, m \in \mathbb {N} \mid 1 \leq m \leq n,\ \gcd(m,n)=1 \, \}$

$\varphi (n)=\\#\\{ \, m \in \mathbb {N} \mid 1 \leq m \leq n,\ \gcd(m,n)=1 \, \\}$


定義 (環, ring)

集合 $R$ と、その元に関する加法 $+$ , 乗法 $\cdot$ が以下の性質を満たすとき、 $(R, +, \cdot)$ を環という。

(1) 加法について $R$ は可換群

(2) 乗法の単位元 $1$ が存在する。

 $\exists 1 \in R \: s.t. \: \forall r \in R , 1 \cdot r = r \cdot 1 = r$

(3) 乗法について結合法則が成り立つ

(4) 加法と乗法について分配法則が成り立つ

$\exists 1 \in R \\: s.t. \\: \forall r \in R , 1 \cdot r = r \cdot 1 = r$


定義 (可換環 , commutative ring)

環 $(R, +, \cdot)$ のうち、乗法について交換法則が成り立つものを、可換環という

$(R, +, \cdot)$


定義 (零環)

1つの元しか持たない環 $(\{x\}, +, \cdot)$ を零環という。

演算は、加法、乗法ともに、$(x,x) \rightarrow x$で定義する。

なお、零環では、加法の単位元 $0$ , 乗法の単位元 $1$ は一致してしまう。


定義 (零因子, zero divisor)

環 $(R,+,\cdot)$ の元 $a \in R$ は, $ax=0 (x \neq 0) $ となる $x \in R$ が存在するとき、左零因子と呼ばれる。同様に、環の元 $a \in R$ について、ある $y \neq 0$ が存在して $ya=0$ となるとき、 $a \in R$ は右零因子と呼ばれる。左または右零因子である元を、単に零因子と呼ぶ。

$ax=0 (x \neq 0) $


定義 (整域 , integral domain)

可換環 $(R,+,\cdot)$ で,単位元 $1$ を持ち,零元 $0$ 以外に零因子を持たない環を、整域と呼ぶ。


定義 (体 , field)

零環ではない可換環 $(R, +, \cdot)$ のうち、加法の単位元 $0$ を除く全ての元 $r \in R$ について、乗法 $\cdot$ に関する逆元 $r^{-1} \in R$ が存在するとき $(R, +, \cdot)$ を体 $F$ と呼ぶ。


位相空間論


定義 (位相空間 Topological space)

集合 $X$ の部分集合族 $O=O(X)$ が$X$の開集合系であるとは,以下を満たすことをいう

(1) $S \in O , \varnothing \in O$

(2) $m \in N, O_1 , ... , O_m \in O \Rightarrow O_1 \cap ... \cap O_m \in O$

(3) 任意の集合 $\Lambda$ をとり, $\lambda \in \Lambda$ から $O_{\lambda} \in O$ という対応を与えたとき,$\underset{\lambda \in \Lambda}{\cup} O_{\lambda} \in O$

集合 $X$ に開集合系 $O$ が与えられたとき,$O$ は $X$ に位相を定めるといい、

$O=O(X)$ の元を開集合(open set)とよぶ。

この位相構造が定められた集合 $(X,O(X))$ を位相空間(topological space)という.

$m \in N, O_1 , ... , O_m \in O \Rightarrow O_1 \cap ... \cap O_m \in O$

$\underset{\lambda \in \Lambda}{\cup} O_{\lambda} \in O$


線形代数


微積分


幾何学


定義 (道)

$R^1$ の閉区間を $I=[0, 1]$ 、$X$ を位相空間とする。連続写像 $\alpha : I \rightarrow X$ を $X$ 内の道という。

$\alpha(0)$ を始点、$\alpha(1)$ を終点という。始点と終点が一致している道をループという


定義 (ホモトピー)

$X$ を位相空間とする。連続関数 $H: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow X$ が、$X$ 内の 道 $\alpha, \beta$ に対し

$H(0, t) = \alpha (t) , H(1, t) = \beta (t)$

を満たすとき、写像 $H$ を道 $\alpha,\beta$ の間のホモトピー (homotopy) という。

2つの道 $\alpha,\beta$ の間にホモトピーが存在することを、$\alpha$ と $\beta$ は互いにホモトープ (homotope)、ホモトピック (homotopic) である、または、同じホモトピー型であるという。

互いにホモトピックであることを $\alpha \simeq \beta$と表す


参考

Qiitaで使える数式や圏論については、以下を参考にさせていただきました。

以上