位相空間論メモ

この記事について

• 数学メモ から分割した。集合については、集合論メモ を参照
• 暇あるときに追記していきます

位相空間論

定義 (位相空間 Topological space)

集合 $X$ の部分集合族 $O=O(X)$ が$X$の開集合系であるとは，以下を満たすことをいう。

(1) $S \in O , \varnothing \in O$
(2) $m \in N, \ O_m \subset X $ とする。$O_1 , ... , O_m \in O \Rightarrow O_1 \cap ... \cap O_m \in O$
(3) 任意の集合 $\Lambda$ をとり， $\lambda \in \Lambda$ から $O_{\lambda} \in O$ という対応を与えたとき，$\underset{\lambda \in \Lambda}{\cup} O_{\lambda} \in O$

集合 $X$ に開集合系 $O$ が与えられたとき，$O$ は $X$ に位相を定めるといい、
$O=O(X)$ の元を開集合(open set)とよぶ。
この位相構造が定められた集合 $(X,O(X))$ を位相空間(topological space)という．
開集合系 $O$ を省略し、集合 $X$ を位相空間と呼ぶこともある。位相空間 $X$ の元は点とも呼ばれる。

$m \in N, O_1 , ... , O_m \in O \Rightarrow O_1 \cap ... \cap O_m \in O$
$\underset{\lambda \in \Lambda}{\cup}  O_{\lambda} \in O$

定義 (閉集合 closed set, 閉集合系)

位相空間 $X$ において、開集合の補集合を閉集合、閉集合全体の集合を閉集合系と呼ぶ。
位相空間 $X$ の部分集合 $F$ が閉集合であるとは、補集合 $F^c$ が開集合であるということになる。

以上