Unityで使っているアセットをほかのプロジェクトに移したら挙動がおかしくなった

マテリアルの参照が外れています。
プロジェクト間でのAssetのやりとりは、.unitypackageを使えば問題なく行えます。
元プロジェクトの持っていきたいAssetを右クリック→パッケージをエクスポート（依存を含めるにチェック）で.unitypackageを作成し、それを移植先プロジェクトでインポートしてください。

ただし「依存を含める」は本来は無関係なAssetも根こそぎ関連付けられてしまう場合があるので、出力する前に本当に必要なものかを確認しましょう。