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@mrrclb48z

複素数平面「(その1/4)【1問多解】2025年 京都大(理系) 複素数の絶対値の最大・最小」様を参考にsympyでやってみた。

Last updated at Posted at 2025-04-10

・長文です。 以下、高校数学の範囲外が含まれています。
・参照サイトは、ページの最後です。
・matplotlibで作図しました。
・一次分数変換(linear fractional transformation）もわからずに、投稿している私の無謀さに気づきました。

オリジナル

・Youtube
　KATSUYA【東大数学9割】様 (0:00〜24:51)
　【1問多解】 2025年 京都大(理系) 複素数の絶対値の最大・最小
　https://youtu.be/jWE6EVA_0SQ

・web
　代々木ゼミナール 様
　https://qiita.com/mrrclb48z/items/6bd182b3d13cb19a6433#%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AB%E3%83%87%E3%83%BC%E3%82%BF

・問題文(mathjax テキスト形式)
　大学入試数学問題集成 様。いつもお世話になっております。
　2025 京都大学 前期MathJax理系【１】問１
　https://mathexamtest.web.fc2.com/2025/202510541/2025105410100mj.html
　https://mathexamtest.web.fc2.com/daigakubetumj/10541index.html#y2025

sympyのweb上での実行方法

　SymPy Live Shellで。
　https://qiita.com/mrrclb48z/items/00dd08b0317069be9342#web%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%AE%9F%E8%A1%8C%E6%96%B9%E6%B3%95sympy-live-shell%E3%81%A7
　

WolframAlpha で

・KATSUYA【東大数学9割】様の yuyasato4132 様のコメントより
　??? カエルの気持ちで。作図をして検証中です。
https://www.wolframalpha.com/input?i=2-1%2F2%2C2%2B1%2F2&lang=ja
結果　{3/2, 5/2}

sympyで(KATSUYA【東大数学9割】様 の方法を参考に)

　このセクションは、私の勉強用です。
　プログラムではありません。
　プログラムは、次のセクションsympyで(いつもの方法で)です。

ver0.1 [解1] 00:44

・１次分数変換

# 次はプログラムではありません。
# ver0.1 [解1] 00:44
from sympy import *
var('z',complex=true)
var('θ',real   =true)
myInterval=Interval(0,2*pi)
w= z-I/z              ;print("#",w)
print("#",abs(w))
z=2*(cos(θ)+I*sin(θ)) ;print("#",z)
print("#",  I/z)
print("#",( (I*conjugate(z)).simplify()
           /(z*conjugate(z)).simplify()))
w=z-      ( (I*conjugate(z)).simplify()
           /(z*conjugate(z)).simplify())
print("#",w)
w_abs2=(w*conjugate(w)).simplify()
print("#",w_abs2)
w_abs2_min=minimum(w_abs2,θ,myInterval)
w_abs2_max=maximum(w_abs2,θ,myInterval)
print("#",sqrt(w_abs2_min),sqrt(w_abs2_max)) 
print("#",solveset(Eq(w_abs2,w_abs2_min),θ,myInterval),
          solveset(Eq(w_abs2,w_abs2_max),θ,myInterval) )
# z - I/z
# Abs(z - I/z)
# 2*I*sin(θ) + 2*cos(θ)
# I/(2*I*sin(θ) + 2*cos(θ))
# sin(θ)/2 + I*cos(θ)/2
# -sin(θ)/2 + 2*I*sin(θ) + 2*cos(θ) - I*cos(θ)/2
# 17/4 - 2*sin(2*θ)
# 3/2 5/2
# {pi/4, 5*pi/4} {3*pi/4, 7*pi/4}

ver0.2 [解2] 09:56

# 次はプログラムではありません。
# ver0.2 [解2] 09:56
from sympy import *
var('z',complex=true)
var('θ',real   =true)
myInterval=Interval(0,2*pi)
w= z-I/z                           ;print("#",w)
w_abs2=(w*conjugate(w)).simplify() ;print("#",w_abs2.expand())
rep   ={z:2*(cos(θ)+I*sin(θ))}
maru1 =z*conjugate(z)+ 1/(z*conjugate(z))
print("#",maru1)
maru1 =(maru1.subs(rep)).simplify()
print("#",maru1)
maru2B= z/conjugate(z) 
print("#",maru2B)
maru2B=(maru2B.subs(rep)).simplify()
print("#",maru2B)
print("#",re(maru2B.simplify()) + im(maru2B.simplify())*I) 
print("#",re(maru2B.simplify()) - im(maru2B.simplify())*I) 
maru2=    re(maru2B.simplify()) + im(maru2B.simplify())*I \
        -(re(maru2B.simplify()) - im(maru2B.simplify())*I) 
print("#",maru2)
print("#",maru1+maru2*I)
#　>以下省略させていただきます。
# z - I/z
# z*conjugate(z) + I*z/conjugate(z) - I*conjugate(z)/z + 1/(z*conjugate(z))
# z*conjugate(z) + 1/(z*conjugate(z))
# 17/4
# z/conjugate(z)
# exp(2*I*θ)
# I*sin(2*θ) + cos(2*θ)
# -I*sin(2*θ) + cos(2*θ)
# 2*I*sin(2*θ)
# 17/4 - 2*sin(2*θ)

ver0.3 [解3] 15:30

# 次はプログラムではありません。
# ver0.3 [解3] 15:30
from sympy import *
var('z',complex=true)
w_abs=abs(z**2-I)/2
R4=4
print("#",Rational(1,2)*(R4-1),Rational(1,2)*(R4+1))
# # 3/2 5/2

ver0.4 [解4] 19:06

# 次はプログラムではありません。
# ver0.4 [解4] 19:06 
from sympy import *
var('z')
rep={Abs(z**2):4}
w_abs=abs(z**2-I)/2
left1 = abs(abs(z**2) - abs(I))
left2 =     abs(z**2  -     I)
right =     abs(z**2) + abs(I)
left1_rep=left1.subs(rep)       #;print(left1_rep)
left2_rep=left2.subs(rep)       #;print(left2_rep)
right_rep=right.subs(rep)       #;print(right_rep)
print("#",left1_rep,"<=",left2_rep,"<=",right_rep)
solutions=solve(Eq(z**2, 4*I),z)  # ;print(solutions)
print("#",factor(re(solutions[0]) + im(solutions[0])*I),",",
          factor(re(solutions[1]) + im(solutions[1])*I)) 
solutions=solve(Eq(z**2,-4*I),z)  # ;print(solutions)
print("#",factor(re(solutions[0]) + im(solutions[0])*I),",",
          factor(re(solutions[1]) + im(solutions[1])*I)) 
# 3 <= Abs(z**2 - I) <= 5
# sqrt(2)*(-1 - I) , sqrt(2)*(1 + I)
# sqrt(2)*(-1 + I) , sqrt(2)*(1 - I)

sympyで(いつもの方法で)KATSUYA【東大数学9割】様 の方法を参考に

ver1.1 [解1] 00:44

・＞成分θで攻める.　
　???変数x,yの２個じゃ扱いづらいから、変数1個θにする、(R固定のため)
・ いつものように、倍角公式の手抜きです。

# ver1.1 [解1] 00:44
from sympy import *
var('z'  ,complex=true)
var('θ,R',real   =true)
def myFukusosuAbsθ(myabs,θ):
    return myabs*(cos(θ)+I*sin(θ))
def myFukusosuSyo(w):
    return  (numer(w)*conjugate(denom(w))) \
           /(denom(w)*conjugate(denom(w))).simplify()
myInterval=Interval(0,2*pi)
R         =2
zθ        =myFukusosuAbsθ(R,θ)                          # ;print("#",zθ)    
Izθ       =myFukusosuSyo((I/z).subs({z:zθ})).simplify() # ;print("#",Izθ)
w_abs2    =(abs(zθ-Izθ)**2).simplify()                    ;print("#",w_abs2)
w_abs2_min=minimum(w_abs2,θ,myInterval)
w_abs2_max=maximum(w_abs2,θ,myInterval)
print("#",sqrt(w_abs2_min),sqrt(w_abs2_max)) 
print("#",solveset(Eq(w_abs2,w_abs2_min),θ,myInterval),
          solveset(Eq(w_abs2,w_abs2_max),θ,myInterval) )
# 17/4 - 2*sin(2*θ)
# 3/2 5/2
# {pi/4, 5*pi/4} {3*pi/4, 7*pi/4}

ver1.2 [解2] 09:56

・＞途中までzのまま攻める　＞難しくなったら..

# ver1.2 [解2] 09:56
from sympy import *
var('z',complex=true)
var('θ',real   =true)
def myFukusosuθ(R,θ):
    return R*(cos(θ)+I*sin(θ))
myInterval =Interval(0,2*pi)
R          = 2
rep        ={z*conjugate(z):R**2}
w          = z-I/z
w_abs2     =((w*conjugate(w)).expand()).subs(rep)           #;print("#",w_abs2)
wθ_abs2    =w_abs2.subs({z:myFukusosuθ(R,θ)}).simplify()    #;print("#",w_abs2)
wθ_abs2_min=minimum(wθ_abs2,θ,myInterval)                   #;print("#",wθ_abs2_max)
wθ_abs2_max=maximum(wθ_abs2,θ,myInterval)                   #;print("#",wθ_abs2_min)
print("#",sqrt(wθ_abs2_min),sqrt(wθ_abs2_max)) 
print("#",solveset(Eq(wθ_abs2,wθ_abs2_min),θ,myInterval),
          solveset(Eq(wθ_abs2,wθ_abs2_max),θ,myInterval))
# 3/2 5/2
# {pi/4, 5*pi/4} {3*pi/4, 7*pi/4}

ver1.3 [解3] 15:30

・＞zを成分化しない。

# ver1.3 [解3] 15:30 
from sympy import *
var('z',complex=true)
var('θ',real=true)
def myFukusosuθ(R,θ):
    return R*(cos(θ)+I*sin(θ))
def myFukusosuAbsθ(myabs,θ):
    return myabs*(cos(θ)+I*sin(θ))
def myAbs(w):
    return numer(w)/abs(denom(w))
myInterval  =Interval(0,2*pi)
R           =2
rep         ={Abs(z):R}                                   # ;print("#",w)
w           =z-I/z                                        # ;print("#",w)
w_abs       =abs(factor(myAbs(cancel(w)).subs(rep)))      # ;print("#",w_abs)
w_absθ      =w_abs.subs({z:myFukusosuθ(R,θ)}).simplify()  # ;print("#",w_absθ)
w_absθ_min=minimum(w_absθ,θ,myInterval)                   # ;print("#",wθ_abs2_max)
w_absθ_max=maximum(w_absθ,θ,myInterval)                   # ;print("#",wθ_abs2_min)
print("#",                   w_absθ_min,w_absθ_max) 
print("#",solveset(Eq(w_absθ,w_absθ_min),θ,myInterval),
          solveset(Eq(w_absθ,w_absθ_max),θ,myInterval))
# 3/2 5/2
# {pi/4, 5*pi/4} {3*pi/4, 7*pi/4}

ver1.4 [解4] 19:06

・＞三角不等式 (θを使っていない)

# ver1.4 [解4] 19:06
from sympy import *
var('z')
rep={Abs(z**2):4}
left1 = abs(abs(z**2) - abs(I))
left2 =     abs(z**2  -     I)
right =     abs(z**2) + abs(I)
# 
left1_rep=left1.subs(rep)         ;print("#",left1_rep)
left2_rep=left2.subs(rep)         ;print("#",left2_rep)
right_rep=right.subs(rep)         ;print("#",right_rep)
# 
solutions=solve(Eq(z**2, 4*I),z)  # ;print(solutions)
print("#",factor(re(solutions[0]) + im(solutions[0])*I),",",
          factor(re(solutions[1]) + im(solutions[1])*I)) 
solutions=solve(Eq(z**2,-4*I),z)  # ;print(solutions)
print("#",factor(re(solutions[0]) + im(solutions[0])*I),",",
          factor(re(solutions[1]) + im(solutions[1])*I)) 
# 3
# Abs(z**2 - I)
# 5
# sqrt(2)*(-1 - I) , sqrt(2)*(1 + I)
# sqrt(2)*(-1 + I) , sqrt(2)*(1 - I)

sympyで(代ゼミ 様の方法で)

ver2.1　代ゼミ 様 複素数平面のθで

・次のコードだとエラーがでます。

# ver2.1　代ゼミ 様 複素数平面のθで 
from sympy import *
var('z,w',complex=true)
var('θ'  ,real   =true)                                ♯ 0<=θ<2*πを省略です。
R=2
z=R*(cos(θ)+I*sin(θ))
w=z-I/z                                                #;print(w)
w_abs=abs(w)
print("#",maximum(w_abs,θ,Interval(0,2*pi)),minimum(w_abs,θ,Interval(0,2*pi)))
# ...ValueError: The argument '6.3 + 0.e-10*I' is not comparable.

ver2.2　代ゼミ 様 複素数平面のθで

・R x R → R　
・実部x虚部　→ 実数　
・複素数平面のconjugateとcancelとθで。sin2θを使っていません。勉強中。
　maximum関数、minimum関数で。

# ver2.2　代ゼミ 様 複素数平面のθで
from sympy import *
var('z,w',complex=true)
var('θ'  ,real=true)
R=2
z=R*(cos(θ)+I*sin(θ))
w=z-I/z                                                #;print(w)
w=cancel(w)
w_numer=(numer(w)*conjugate(denom(w))).simplify()      #;print(w_numer)
w_denom=(denom(w)*conjugate(denom(w))).simplify()      #;print(w_denom)
w_abs  =sqrt(re(w_numer)**2+im(w_numer)**2)/w_denom    #;print(w_abs)
print("#",maximum(w_abs,θ,Interval(0,2*pi)),minimum(w_abs,θ,Interval(0,2*pi)))
plot(w_abs,(θ,0,2*pi))
# 5/2 3/2

・matplotlibで
111.png

ver2.3　代ゼミ様 複素数平面の三角不等式で

# ver2.3　代ゼミ様 複素数平面の三角不等式で 
勉強中。ChatGPT先生に聞いて。
(省略)

いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。

(テンプレート)

いつもと違うおすすめです。

ver0.1 ver1.1

・次は私には、難しい。
https://qiita.com/mrrclb48z/items/9ae08175f7e6df5da3e7
https://qiita.com/mrrclb48z/items/55369e77c253389d337e

ver0.2 ver1.2

ver0.3 ver1.3

ver0.4 ver1.4

本投稿を含めて複素数平面 3部作

https://qiita.com/mrrclb48z/items/53217e7e6c0f2222dd6e
https://qiita.com/mrrclb48z/items/90aea6a68504466c320f#ver03-%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%B9%B3%E9%9D%A2-%E8%A7%A3%E6%B3%953

copilot先生へ

いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。

(テンプレート)
https://qiita.com/mrrclb48z/items/b6351b48e47bcf6265c0

出題範囲(単元)

いつもと違うおすすめです。

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