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@mrrclb48z

複素数平面「(その3/4)【1問多解】2025年 京都大(理系) 複素数の絶対値の最大・最小」様ををAI先生へ、xy平面を使った問題文に書き換えて下さい。

Last updated at Posted at 2025-04-10

・???(本日の)ChatGPT先生。いつも以上に気合が入っていました。
　作図がステキ。 アニメーションのコードは、実行していません。
・???mathjaxを教えてもらいましたが、私はわかりませんでした。

(再出)オリジナル

・問題文(mathjax テキスト形式)
　大学入試数学問題集成 様。いつもお世話になっております。
　2025 京都大学 前期MathJax理系【１】問１
　https://mathexamtest.web.fc2.com/2025/202510541/2025105410100mj.html
　https://mathexamtest.web.fc2.com/daigakubetumj/10541index.html#y2025

(本日の)ChatGPT先生へ

下記の複素数平面の問題文そのものをxy平面を使った問題文に書き換えて下さい。
<div class="qbody">
<p class="slevel"><a name="q-0101" 
id="q-0101"></a><span 
class="qnum">【１】</span>　次の各問に答えよ．</p>
<a name="s-0101" id="s-0101"></a><p class="s1level"><span 
class="shomon1">問１</span>　<math>
<mi>i</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>は虚数単位とする．複素数<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>z</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>が，絶対値が<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mn>2</mn><mspace width=".2em"></mspace>
</math>である複素数全体を動くとき，<math>
<mrow><mo rspace=".2em">|</mo><mi>z</mi>
<mo>−</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mi>i</mi><mi>z</mi>
</mfrac></mstyle><mo lspace=".2em" rspace=".2em">|</mo></mrow>
</math>の最大値と最小値を求めよ．
</p>

質問リスト

・質問リストの追番は無視して下さい。１個ずつです。
　途中の回答表示は省略しています。

# 質問リスト
1. 下記の複素数平面の問題文そのものをxy平面を使った問題文に書き換えて下さい。  
2. 上記をmathjax形式でお願いします。  
3. 上記をsympy のソースコードで教えて下さい。  
4. 欲しいです。  
5. 興味あります。  
6. 停止の作図をお願いします。  
7. まず一枚作図して下さい。  
8. 私の質問をMarkdown形式でリスト化して出力して。Markdown形式でリストからアスタリスクは削除して。1行目に、# 質問リスト の文字を出力して。  
9. 追番を追加して。本コメントも含めて下さい。

・上記をmathjaxのソースコードで教えて下さい。

<div class="qbody"> <p class="slevel"><a name="q-0101" id="q-0101"></a><span class="qnum">【１】</span>　次の各問に答えよ．</p> <a name="s-0101" id="s-0101"></a><p class="s1level"><span class="shomon1">問１</span>　xy平面上で、原点を中心とする半径2の円周上を動く点 \( P \) の座標を \( (x, y) \) とする。 このとき、点 \( P \) に対して定まる点 \( Q \) の座標を \[ Q = \left( \frac{y}{x^2 + y^2},\ -\frac{x}{x^2 + y^2} \right) \] とする。点 \( P \) と点 \( Q \) の距離 \[ |PQ| = \sqrt{\left(x - \frac{y}{x^2 + y^2}\right)^2 + \left(y + \frac{x}{x^2 + y^2}\right)^2} \] の最大値と最小値を求めよ。 </p>

・上記をsympy のソースコードで教えて下さい。

from sympy import symbols, cos, sin, simplify, sqrt, diff, solve, pi, Eq, Max, Min
from sympy import lambdify, N

# 変数定義
theta = symbols('theta', real=True)

# 点Pの座標（半径2の円周上）
x = 2 * cos(theta)
y = 2 * sin(theta)

# 点Qの座標
xq = y / (x**2 + y**2)
yq = -x / (x**2 + y**2)

# 距離PQ
PQ_squared = (x - xq)**2 + (y - yq)**2
PQ = simplify(sqrt(PQ_squared))

# 微分して臨界点を求める
dPQ = diff(PQ, theta)
critical_points = solve(Eq(dPQ, 0), theta)

# 区間[0, 2π]で評価する点（臨界点と周期端点）
eval_points = [0, pi, 2*pi] + critical_points

# 数値評価して最大・最小を求める
f = lambdify(theta, PQ, 'numpy')
values = [(pt, N(PQ.subs(theta, pt))) for pt in eval_points if pt.is_real]

# 最大・最小を抽出
max_val = max(values, key=lambda x: x[1])
min_val = min(values, key=lambda x: x[1])

# 結果表示
print("PQ =", PQ)
print("最大値:", max_val)
print("最小値:", min_val)

このコードを実行すると、最大値・最小値とそれが出現する角度が得られます。必要であればプロット付きの可視化バージョンも作れますよ。欲しいですか？

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import symbols, cos, sin, simplify, sqrt, lambdify

# シンボリック変数
theta = symbols('theta', real=True)

# 点Pの座標（半径2の円周上）
x = 2 * cos(theta)
y = 2 * sin(theta)

# 点Qの座標（z = x + iy に対して z の逆数の虚部）
xq = y / (x**2 + y**2)
yq = -x / (x**2 + y**2)

# 距離PQの式
PQ = simplify(sqrt((x - xq)**2 + (y - yq)**2))

# 数値関数に変換
PQ_func = lambdify(theta, PQ, modules=['numpy'])

# グラフ描画用に theta を 0 から 2π までとる
theta_vals = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)
PQ_vals = PQ_func(theta_vals)

# 最大値・最小値の位置と値
max_idx = np.argmax(PQ_vals)
min_idx = np.argmin(PQ_vals)

# グラフを描画
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(theta_vals, PQ_vals, label=r'$|PQ|$', color='blue')
plt.scatter(theta_vals[max_idx], PQ_vals[max_idx], color='red', label='Max')
plt.scatter(theta_vals[min_idx], PQ_vals[min_idx], color='green', label='Min')
plt.title(r'Distance $|PQ|$ vs. $\theta$ on the circle $|z| = 2$')
plt.xlabel(r'$\theta$ (radians)')
plt.ylabel(r'$|PQ|$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

もっと見やすくしたり、円上のPとQの動きをアニメーションで見たいなどもできますよ。興味ありますか？

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

# パラメータ
r = 2  # 円の半径
theta_vals = np.linspace(0, 2 * np.pi, 360)  # 1周分

# 点PとQの軌跡を計算
xP = r * np.cos(theta_vals)
yP = r * np.sin(theta_vals)
denom = xP**2 + yP**2
xQ = yP / denom
yQ = -xP / denom

# アニメーションの準備
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
ax.set_aspect('equal')
ax.set_xlim(-3, 3)
ax.set_ylim(-3, 3)
ax.set_title("Motion of Points P and Q")
ax.grid(True)

# 描画要素
circle = plt.Circle((0, 0), r, color='lightgray', fill=False, linestyle='--')
pointP, = ax.plot([], [], 'bo', label='P (on circle)')
pointQ, = ax.plot([], [], 'ro', label='Q')
linePQ, = ax.plot([], [], 'k-', lw=1, label='Line PQ')
traceQ, = ax.plot([], [], 'r--', lw=0.5, alpha=0.5, label='Trace of Q')

# Qの軌跡を保存
xQ_trace = []
yQ_trace = []

def init():
    ax.add_patch(circle)
    pointP.set_data([], [])
    pointQ.set_data([], [])
    linePQ.set_data([], [])
    traceQ.set_data([], [])
    return pointP, pointQ, linePQ, traceQ

def update(frame):
    x_p, y_p = xP[frame], yP[frame]
    x_q, y_q = xQ[frame], yQ[frame]
    xQ_trace.append(x_q)
    yQ_trace.append(y_q)

    pointP.set_data(x_p, y_p)
    pointQ.set_data(x_q, y_q)
    linePQ.set_data([x_p, x_q], [y_p, y_q])
    traceQ.set_data(xQ_trace, yQ_trace)

    return pointP, pointQ, linePQ, traceQ

ani = animation.FuncAnimation(
    fig, update, frames=len(theta_vals),
    init_func=init, blit=True, interval=30, repeat=True
)

plt.legend()
plt.show()

停止の作図をお願いします。
📌 静止画バージョン：PとQの位置、Qの軌跡、PQの線分の作図

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ
r = 2  # 半径
theta_vals = np.linspace(0, 2 * np.pi, 360)

# 円周上の点P
xP_vals = r * np.cos(theta_vals)
yP_vals = r * np.sin(theta_vals)

# Qの座標（zの逆数にiをかけたもの）
denom = xP_vals**2 + yP_vals**2
xQ_vals = yP_vals / denom
yQ_vals = -xP_vals / denom

# 表示する角度（例えば θ = π/4）
index = 45  # θ = π/4 の近く（360分割で45番目）
xP = xP_vals[index]
yP = yP_vals[index]
xQ = xQ_vals[index]
yQ = yQ_vals[index]

# 作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
ax.set_aspect('equal')
ax.set_xlim(-3, 3)
ax.set_ylim(-3, 3)
ax.set_title("Static Plot: Points P and Q, and Path of Q")
ax.grid(True)

# 円
circle = plt.Circle((0, 0), r, color='lightgray', fill=False, linestyle='--')
ax.add_patch(circle)

# 点Pと点Q
ax.plot(xP, yP, 'bo', label='P')
ax.plot(xQ, yQ, 'ro', label='Q')

# 線分PQ
ax.plot([xP, xQ], [yP, yQ], 'k-', label='Line PQ')

# Qの軌跡
ax.plot(xQ_vals, yQ_vals, 'r--', lw=0.8, alpha=0.6, label='Trace of Q')

# 原点
ax.plot(0, 0, 'ko', markersize=4)

# 凡例
ax.legend()
plt.show()

まず一枚作図して下さい。

データ分析の制限に達しました。

vscodeの実行結果
111.png

Gemini先生へ

copilot先生へ

いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。

(テンプレート)

いつもと違うおすすめです。

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