「複素数平面のi/zはどのような意味ですか。」をAI先生に聞きました。

(本日の)ChatGPT先生へ

開始

複素数平面のi/zはどのような意味ですか。
1/zと何が違いますか。

・ChatGPT先生の回答はていねいです。
　2.が変です。
　5.が必要でした。
　そこまでやらなくてもと、聞くのを忘れました。
　2.を聞くのを忘れました。
　作図をお願いするのを忘れました。
　ちょうど時間となりました。GPT-4o. の Free プランの制限に達しました。

質問リスト

・質問リストの追番は無視して下さい。１個ずつです。途中の回答表示は省略しています。

# 質問リスト
1. 複素数平面の \( \frac{i}{z} \) はどのような意味ですか。
2. \( \frac{1}{z} \) と何が違いますか。
3. 上記を sympy のソースコードで教えて下さい。結果は、ソースコードの外で。markdown 形式で。テキストも。
4. mathjax を省略しないで、私の質問を最初から、Markdown 形式でリスト化して出力して。Markdown 形式でリストからアスタリスクは削除して。1行目に、# 質問リスト の文字を出力して。
5. 私の質問だけで。本質問も含めて。

(ステキな解説省略)

1. 逆数1/zの意味
   ...z を原点を中心とする円の内側にひっくり返し（反転）、共役を取ることで y 軸方向に対称移動させる...
2. i/zの意味
   ...1/zをさらに90°反時計回りに回転させたもの...
3. 幾何的な違い
   ...
   具体例
   まとめ

import sympy as sp

# 複素数 z を定義
x, y = sp.symbols('x y', real=True)
z = x + sp.I * y

# 逆数 1/z
inv_z = 1 / z

# i/z
i_over_z = sp.I / z

# 結果を展開
inv_z_expanded = sp.simplify(inv_z)
i_over_z_expanded = sp.simplify(i_over_z)

# 結果を表示
print("1/z =", inv_z_expanded)
print("i/z =", i_over_z_expanded)

・???よくわからなくなりました。

### **計算結果**
1. **逆数 \( \frac{1}{z} \)**  
   \[
   \frac{1}{z} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2}
   \]
2. **\( \frac{i}{z} \)**  
   \[
   \frac{i}{z} = \frac{y + ix}{x^2 + y^2}
   \]

### **解釈**
- \( \frac{1}{z} \) は \( z \) の共役をとって大きさの二乗で割る（反転＋共役）。
- \( \frac{i}{z} \) はさらに \( 90^\circ \) 反時計回りに回転した結果。

・これか？変な記号そのままです。

   \[
   \frac{1}{z} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2}
   \]

   \[
   \frac{i}{z} = \frac{y + ix}{x^2 + y^2}
   \]

Gemini先生へ

copilot先生へ

いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。

(テンプレート)

いつもと違うおすすめです。

wikipedia

複素数の積と回転

wikibook

複素数の積・商

回転移動