漸化式

まとめ

• 全解法理由付き！入試に出る漸化式基本形全パターン解説【高校数学】

漸化式全パターン

原則

[原則] 次の形に帰着させる

基本３パターン \\
\left\{
\begin{array}{l}
\cdot　a_{n+1} = a_n + d    &(等差型)　　　\\
\cdot　a_{n+1} = ra_n       &(等比型)　　　\\
\cdot　a_{n+1} = a_n + f(n) &(階差型)　　　\\
\end{array}
\right\}

1.等差型

• $ 等差数列の公式（初項: a_1, 公差: d）： a_n = a_1 + (n - 1)d $
• 例題

2.等比型

• $ 等比数列の公式（初項: a_1, 公比: r）： a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $
• 例題

3.階差型

• $ a_{n+1} = a_n + f(n) $

\begin{array}{l} \\
a_1,\overbrace{　}^{f(1)} a_2,\overbrace{　}^{f(2)} a_3,\overbrace{　}^{f(３)} a_4, \cdots \\
a_4 = a_1 + f(1) + f(2) + f(3) \\
\end{array} \\

• $階差数列（を用いたもの）の公式： a_n = a_1 + \sum_{1}^{n-1}f(k) $
• 例題

4.特殊解型

• $ a_{n+1} = pa_n + q $
  • $ a_x を α（αを特殊解という）に置き換えてαを求める $
  • $ a_x - αとして式を作る。 $
  • 等比型に帰着させる

\begin{array}{l} \\
a_{n+1} &= pa_n + q \\
\alpha  &= p \alpha + q \\
\end{array} \\
両辺を引くと\\
a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha) \\
a_n - \alpha = b_n とおく\\
b_{n+1} = p b_n となり等比型となる。\\

• 例題

5.指数型

• $ a_{n+1} = pa_n + q \cdot r^n $
  • $ r^{n+1} で割る $
  • 特殊解型に帰着させる

\begin{array}{l} \\
a_{n+1} = pa_n + q  \cdot r^n \\
\frac{a_{n+1}}{r^{n+1}} = \frac{p}{r}\frac{a_n}{r^n} + \frac{q}{r} \\
\frac{a_n}{r^n} = b_n とおくと \\
b_{n+1} = \frac{p}{r}b_n + \frac{q}{r} となり特殊型となる \\
\end{array} \\

• 例題

6.Ｎ次式型

• $ a_{n+1} = pa_n + f(n) （Ｎ次式） $
  • $ a_n + （Ｎ次式）が公比p の等比数列になるようなＮ次式を考える $
  • 等比型に帰着させる

\begin{array}{l} \\
\end{array} \\

• 例題

7.階比型

• $ a_{n+1} = f(n)a_n $

  • $ a_1になるまで漸化式を使う $

• 例題

8.次数相異型

• $ a_{n+1} = p{a_n}^q $
  • 正であることを確認し、対数をとる
  • 特殊型に帰着させる

\begin{array}{l} \\
\end{array} \\

• 例題

9.分数型

• $ a_{n+1} = \frac{pa_n + q}{ra_n + s} $

  • $ a_n \ne 0を示し、逆数をとる(q = 0)$
  • $ \alpha = \frac{p \alpha + q}{r \alpha + s} を解き、a_{n+1} - \alpha = ～ (q \ne 0) $
  • 特殊解型に帰着させる

• 例題

10. Snを含む漸化式

• $ a_1 = S_1, a_{n+1} = S_{n+1} - S_n を用いて、a_nの漸化式にする $

• 例題

11. 隣接3項型

• $ a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0 $
  • $ \alpha^2 + p\alpha + q = 0 を解き $

\begin{cases}
a_{n+2} - \alpha_1 a_{n+1} = \alpha_2(a_{n+1} -\alpha a_n) \\
a_{n+2} - \alpha_2 a_{n+1} = \alpha_1(a_{n+1} -\alpha a_n) \\
\end{cases}
を考える \\
\begin{array}{l}
\\
「理由」\\
a_{n+2} - \alpha_1 a_{n+1} = \alpha_2(a_{n+1} -\alpha a_n) \\
\Leftrightarrow a_{n+2} - (\alpha_1 + \alpha_2) a_{n+1} + \alpha_1 \alpha_2 a_n = 0 \\
\\
元の漸化式と比較すると、\\
\begin{cases}
\alpha_1 + \alpha_2 = -p \\
\alpha_1 \alpha_2 = q \\
\end{cases}
となり、\\
\alpha^2 + p\alpha + q = 0 の解が\alpha_1, \alpha_2 となる。
\end{array}

• 例題

12. 連立漸化式

\begin{cases}
a_{n+1} = p a_n + q b_n\\
b_{n+1} = r a_n + s b_n\
\end{cases} 

• $ a_{n+1} + \alpha(b_{n+1}) = \beta(a_n + \alpha(b_n)) を満たす\alpha, \beta を探す $

• 例題