まず $E(\boldsymbol{w})$ はスカラーであることに注意してください。
赤枠部分1項目の $\boldsymbol{w}^T \tilde{\boldsymbol{X}}^T \boldsymbol{y}$ もスカラーですので当然転値を取っても値は変わりません。
更に $(AB)^T = B^T A^T$ より
$$\boldsymbol{w}^T \tilde{\boldsymbol{X}}^T \boldsymbol{y} = \boldsymbol{y}^T \tilde{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{w}$$ が成り立ちます。
よって $\nabla \boldsymbol{w}^T \tilde{\boldsymbol{X}}^T \boldsymbol{y}$ を計算すれば良い事が分かります。
この形はややこしいので一般の形で整理すると、公式として
$$\nabla \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{y} = \boldsymbol{y}$$
が成り立ちます。
これは行列の内積を偏微分していくので(2$\times$2行列とかで)実際に手計算すればすぐに確かめられると思います。
あとは上の赤枠部分の縦ベクトル(列ベクトル) $\tilde{\boldsymbol{X}}^T \boldsymbol{y}$ ついてこの公式を使うと
$$\nabla \boldsymbol{w}^T \tilde{\boldsymbol{X}}^T \boldsymbol{y} = \tilde{\boldsymbol{X}}^T \boldsymbol{y}$$ となるので求めたい計算ができるかと思います。
Like!