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指数分布の確率密度関数導出について

指数分布の確率密度関数導出について、どうしても理解できないことがあったため質問させていただきます。
指数分布の確率密度関数はご存知のとおり以下の式で表されます。

f(x)=λe^{−λx}

様々な本・サイトで確率密度関数の導出の際、必ず最初に「xからΔxの間に初めて事象が発生する確率を2通りで示し、それで等式を作る」ということをしています。
単位時間に平均λ回発生する事象が微小区間Δxで初めて発生する確率は

f(x)Δx=(1−F(x))・λΔx

と表されるそうです。

この式で右辺は理解できます。
$(1-F(x))$:xまでに事象が発生しない確率
$λΔx$:Δxの間に事象が発生する確率(1単位時間に平均λ回発生する事象なので、時間をかければ確率になる)

しかし左辺がどうしても理解できないのです。

参考サイト等では「確率密度関数の定義よりΔxの間に事象が発生する確率はf(x)Δxと表せる」としかありませんでした。
f(x)は「発生間隔がxになる確率」なので、指数分布のような連続分布においては0に近い確率だと考えています。
それにΔxをかけると「Δxの間に事象が発生する確率」になる...というのが納得できません。
たとえばx=5、Δx=3だとすると、求めたいのは「x=5~8の間に発生する確率」ということですよね?
これが「x=5で発生する確率」×3で表されるというのが、理解できないのです。
離散一様分布なら、「x=5で発生する確率」×3に納得できるのですが。

何か根本的な勘違いをしているのでしょうか?
どなたか、右辺の解釈方法について教えていただけると助かります。

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1Answer

定積分の基本を思い出すと、特定の定義域の範囲の関数を微小区間の短冊状に区切り、それを足し合わせたものとなります。

この短冊をどう求めるかと言えば、(f(x)に変数を入れてその瞬間の確率) x 区間幅となります。
式で書けば、f(x)Δx、Δxを限りなく0に近づければ、f(x)dxでつまり微分。

(あまりにも適切でないこと書いてたので全面書き直し)

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Comments

  1. 違和感の原因は、Δxを大きくとりすぎている(Δx = 3)からだと思う。
  2. @baked_saury

    Questioner

    非常に理解しやすかったです!納得できました。
    Δxが微小区間だから、f(x)Δxでいいんですね。
    丁寧な回答、ありがとうございます。

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