だいたい以下のようなtravis.ymlを書けばいいです。

language: node_js
node_js:
  - '8'
  - '6'

cache:
  yarn: true
  directories:
    - ".eslintcache"
    - "node_modules"

notifications:
  email: false

yarn

基本的にyarnを使います。
~~before_installを使ってインストールします。~~
デフォルトでサポートしているようです。yarn.lockがあれば自動的にyarnが使用されます。なおbefore_installでyarnをインストールしていてもCIの実行時間的には差はありません。

travisってロックファイルがあればyarnを使うんか...知らなかった https://t.co/Z6AkcrF8a4
— あかめ@無職.js (@akameco) January 12, 2018

notifications

notificationsは完全にスパムになるのでfalseにした方がいいと思います。

node_js

node_js:
  - '8'
  - '6'

の部分ですが、babel環境なら8だけ書いておけばいいです。また、個人にはnode4系はサポートする必要はもうないと思います。

+α

touch-altを使っていれば、一度touch -a .travis.ymlすると今後はtouch .travis.ymlで上記のテンプレートが作られるので便利です。