RSA暗号は1文字1文字暗号化しているのでしょうか（なわけないと思うのですが）

「２つの素数による積」の特性を使っていれば、RSA暗号といえると思います。
ですが「RSA暗号だから１文字１文字処理する」ということはありません。

まず、暗号化の入力データは基本的に、単なるバイナリとして扱われ、入力単位のサイズも実装によりまちまちです。

また、投稿にあるサンプルでは、同じ入力（文字）が同じ出力になっていますが、実用的な暗号化では、前回の出力を入力として扱ったりして、同じソースに対して、違う結果がでる等の工夫がされているはずです。

暗号というのは攻撃者に解読されないように、色々な要素（アイデア）が盛り込まれるため、一概にこうだとは言いにくい部分があります。

暗号理論の専門書に目を通しても一般論しか書かれておらず
実装的な部分が詳しく書かれていないことが多いので，もやもやしています．

この気持ちはよくわかります。
理論よりもコードを読んだほうがピンとくるという方であれば、下記の「Javaで作って学ぶ暗号技術」が超おすすめです。

２００ページほどの手ごろな本です。
「アルゴリズムの説明＋実際のコード」の構成で、暗号化の基本がテンポよく学習できます。Javaに馴染みがなくても、C系の言語がわかれば無理なく内容を理解できると思います。

一文字ずつ別の文字に置き換える暗号は「換字暗号」と呼ばれるもので、暗号の基本みたいなものなので避けて通るわけにはいかないと思います。
出現頻度によって文字の対応を推測できることも古くから知られていて、シャーロックホームズの「踊る人形」はまさにそういう話です。
その対策としては第二次世界大戦でドイツ軍が使っていたエニグマ暗号では「キーで一文字打つごとに暗号表(置き換えパターン)を切り替える」といったことをしていました。

今では共通鍵暗号の世界では文字列(文字コード列)を一つの大きな桁の数字として暗号化する「ブロック暗号」や、バイト列の並びを順次暗号化していく「ストリーム暗号」が主流です。
これは「鍵さえ知られなければ」非常に強力です。

一方、RSAのような公開鍵暗号は処理が複雑なため大きなデータを暗号化すると非常に時間がかかるので、「鍵さえバレなければ安全」な公開鍵暗号の鍵を安全に受け渡すことなどに使われます。
鍵データであれば中身はただのバイナリデータでしかなく、長さもごく短いため出現頻度から置換パターンを絞り込むことは困難です。

さらにRSA暗号の実装では元データの中にときどき乱数を挿入することで、元のデータとの対応関係を予想することを困難にしているそうです。
(復号側はどこに乱数が入っているかを知っていてその部分を読み飛ばす)