Colincon2020
@Colincon2020

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分散の性質に関しての困惑、xとx独立なら、なぜV[2x]≠V[x+x]

解決したいこと

ある企業の身体測定で社員の体重xは正規分布で近似でき
平均μ=55.6kg、標準偏差δ=7.2kgであることが知られている。
制限体重が600kgのエレベータに10人が乗り込んだ時
制限重量を超える確率を求めよ

この問題をときたいですが、どうしても分からないことがあって、以下の問題に困惑しています。

まず、正しい答えは以下の通りです。

$\because f(x) \sim z(55.6,7.2^2)$

$\therefore$ 社員10人を無作為に選ぶと、合計体重$S$の分布は
$\mu_1=55.6×10 = 556 kg$
$\sigma_1 = 7.2×\sqrt{10} = 22.77 kg$
$P(600<S)=P((600-556)/22.77<Z)=P(1.93<Z)=0.027$

困惑している点

$\sigma_1 = 7.2×\sqrt{10} = 22.77 kg$
上記のところですが、なぜ$\sqrt{10^2\times7.2^2}$ではなく、$7.2×\sqrt{10}$になっているでしょうか?
$V[10X]=10^2V[X]$ ⇒ $\sigma_1 = \sqrt{10^2\times7.2^2} = 72 kg$

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1Answer

質問にある

V[10X] = 10^2 V[X]

という式は,「1 回だけ試行し,その結果を 10 倍した値」の分散に相当します.
社員を無作為に 1 人だけ選び,その社員を(何らかの手段で複製して)10 人エレベータに乗せるという問題ならばこの式が適用できます.

社員を無作為に 10 人選ぶという本来の問題では,次のような式を考えることになります.

V\left[\sum_{i=1}^{10} X_i\right] = \sum_{i=1}^{10} V[X_i] = 10 \times (7.2 \mathrm{kg})^2

ここで $X_i$ は $i$ 番目に選ばれた人の体重です.

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Comments

  1. @Colincon2020

    Questioner

    satomineさん、ご回答ありがとうございます!
    なるほど、要は体重10倍の分散ではなく、体重分散の10倍ですね。

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