この記事は note に書いた記事を Qiita に移植したものです（内容はほぼ同じです）．
LEGO 部品を利用した回転型倒立振子のレシピを公開！
- 第 1 回：組み立て
- 第 2 回：電子工作
- 第 3 回：運動方程式 ― MATLAB / Symbolic Math Toolbox
- 第 4 回：パラメータ同定 ― MATLAB / Simulink
- 第 5 回：現代制御 ― MATLAB / Simulink …… 未完成
- 第 6 回：アドバンスト制御 ― MATLAB / Simulink …… 未完成
おまけ
補足
1. はじめに
ここでは，工作に自信がない人でも，比較的，簡単？？？に「回転型倒立振子」を製作するできることを目指して，本記事を書きます．
なお，モノによっては，発注してから届くまで１ヶ月半程度を要します．これは，輸入品であったり，受注生産であったりするためです．届くまで，気長にお待ち下さい．
「回転型倒立振子」は，海外では発案者の古田勝久先生（東京工業大学名誉教授）の名にちなんで Furuta Pendulum とも呼ばれています．
2. 部品の調達
2.1 LEGO 部品の調達
「回転型倒立振子」の筐体は，LEGO 部品を利用して製作をします．
- 部品表の Excel ファイルはこちらから入手できます．
- 部品表の PDF ファイルはこちらから入手できます．
- EV3 replacement pack3 以外はブリッカーズさんから購入できます．
- EV3 replacement pack3 はアフレルさんから購入できます．
下表に示すように，EV3 replacement pack3 以外の LEGO 部品をブリッカーズさんで購入すると，約 9,000 円（2022/05/30）となります．
また，下表の部品は，アフレルさんから購入可能な EV3 replacement pack3（1,320 円）に含まれています．EV3 replacement pack3 にはこれらが 2 個ずつ入っています（2022/05/30 に確認）．
【EV3 replacement pack3 について】
土台が動かないようにするためのおもりとして，EV3 replacement pack3 を利用しています．2022/05/30 現在，アフレルさんに在庫がありますが，在庫がなくなり次第，販売終了です．Amazon などからでもしばらくは購入できるかもしれませんが… 入手できなかったら，土台に金属製の何か（四角い 9V 電池とか）を両面テープで貼り付けるなどして，土台が動きにくくなるように工夫してください．単なるおもりですので．
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| EV3 replacement pack3 |
ちなみに，私は教育用 LEGO MINDSTORMS EV3 の基本セットと拡張セットを多数，所有しているので，その中から部品を調達しました．
2.2 モータと関連部品の調達
まずは，調達する部品のリストです．
| 製品名・仕様等 | 製造元 | 個数 | 購入先 | |
|---|---|---|---|---|
| エンコーダ付ギヤード DC モータ | FIT0481: Micro Metal Geared motor w/Encoder - 6V 530RPM 30:1 | DFRobot 社 | 1 | スイッチサイエンス，Digi-Key |
| モータブラケット | Micro Metal Gearmotor Bracket Pair - Black〔黒，2 個入〕 | Pololu 社 | 1 | 朱雀技研工房ストア |
| D カット 3mm 軸用アダプタ | Motor Shaft Adapters〔2 個入〕 | Tenka 社 | 1 | Tenka 社 から輸入，もしくはポートトラストから購入 |
| バインド子ねじ | M2 × 18 | ― | 2 | モノタロウ（50 個入です） |
| ワッシャー | M2 | ― | 2 | モノタロウ（50 個入です） |
| 六角ナット | M2 | ― | 2 | モータブラケットに付属のものを利用 |
それでは，個別に説明します．
まず，モータについてです．
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| DFRobot 社のモータ〔Micro Metal Geared motor w/Encoder〕 |
エンコーダ付きのギヤード DC モータとしては，DFRobot 社の Micro Metal Geared motor w/Encoder を使用しています．ギヤ比（減速比）に応じて 7 種類が用意されています．今回は，アームや振子が軽量であるので，速応性を考慮して 30:1 のモータを使うことにしました．
国内では，DFRobot 社のモータを，スイッチサイエンスさんなどから購入できます．スイッチサイエンスさんの場合，輸入取り寄せの商品なので，納期は 1 ヶ月半程度だそうです．
| スイッチサイエンスさんから購入する場合のコード番号 | Digi-Key さんから購入する場合のメーカー製造番号 |
|---|---|
| DFROBOT-FIT0481 | FIT0481 |
| DFROBOT-FIT0482 | FIT0482 |
| DFROBOT-FIT0483 | FIT0483 |
| DFROBOT-FIT0484 | FIT0484 |
| DFROBOT-FIT0485 | FIT0485 |
| DFROBOT-FIT0486 | FIT0486 |
| DFROBOT-FIT0487 | FIT0487 |
私は利用したことがありませんが，米国の会社である Digi-Key さんは，日本語のサイトがあるだけでなく，日本語での電話，メールをサポートしているようで，在庫に応じて即日出荷してもらえるようです．
DFRobot 社のモータ (Micro Metal Geared motor w/Encoder) は，エンコーダが最初から取り付けられているという，うれしい仕様です．電源が供給されると，エンコーダ基板の緑色の LED が点灯し，おしゃれ？？？です．磁気式のインクリメンタル型であり，分解能は 7 PPR（パルス / 回転）です．モータのギヤ比 (減速比) は 30:1 なので，4 逓倍でカウントすると，$$
30 \times 7 \times 4 = {\bf 840}\ \bf\mbox{[カウント/回転]}
$$ なので，$$
360/840 \simeq {\bf 0.42}\ \bf\mbox{[度/カウント]}
$$ となります．
【Pololu 社のモータとの比較】
DFRobot 社のモータ (Micro Metal Geared motor w/Encoder) は Pololu 社のモータ (Micro Metal Gearmotor) と酷似しています．本家 Pololu 社のモータはギヤ比や定格電圧などの種類が豊富です．種類の一覧はこちらに公開されています．
Pololu 社のモータ (Micro Metal Gearmotor) は，エンコーダが取り付けられていませんので，オプションのエンコーダ（磁気式，インクリメンタル型）を購入し，自分で半田付けをする必要があります．また，分解能は 6 PPR（パルス / 回転）ですので，DFRobot 社のものより分解能が劣ります．
価格についてですが，スイッチサイエンスさんで購入すると，DFRobot 社のモータが 1,500 円程度であるのに対し，Pololu 社のモータは 2,700 円程度（これにプラスして，オプションのエンコーダが 1,200 円程度）と少々，お高いです．
Pololu 社のモータ〔Micro Metal Gearmotor〕
モータ軸の長さを除くと，DFRobot 社のモータは Pololu 社のモータとほぼ同じサイズです．したがって，Pololu 社のモータ用の様々なアクセサリを利用することができます．今回は，Pololu 社の「モータブラケット」を利用して，モータを LEGO 部品で製作された土台部に結合します．また，Tenka 社の「3mm 軸用アダプタ」を介して，モータ軸と LEGO 部品で製作されたアーム部を結合します．
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| Pololu 社のモータブラケット〔2 個入り〕付属のねじは不使用ですが，六角ナットは使用します |
Pololu 社の「モータブラケット」は，たとえば，朱雀技研工房ストアさんから購入できます．これは，「ブラケット」が 2 個，M2 の「なべ小ねじ」が 4個，「六角ナット」が 4 個，入っています．
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| DFRobot 社のモータと LEGO 部品の結合 |
本来の使用方法は，「ブラケット」のねじ穴に「六角ナット」をはめ込み，「ブラケット」の反対側から「なべ小ねじ」で締めるというものですが，この実験装置の製作では，異なる使用方法となります．
「LEGO 部品」と「ブラケット」の穴の間隔は，少しずれています．そこで，「ブラケット」のねじ穴に M2 x 18 の「バインド小ねじ」を通し，反対側に取り付けられた「LEGO 部品」の穴も貫通させます．そして，LEGO 部品側の穴に M2 の「ワッシャー」をはめ込み，M2 の「六角ナット」で締めます．詳しくは，後述します．
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| ねじ類 |
M2 x 18 の「バインド小ねじ」や M2 の「ワッシャー」は，大きなホームセンターであれば，売っているかもしれません．ネットで購入するには，たとえば，モノタロウさんの場合，M2 x 18 の「バインド小ねじ」はここから，M2 の「ワッシャー」はここから購入してください．M2 の「六角ナット」は，Pololu 社の「モータブラケット」に付属しているものを利用します．
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| Tenka 社の D カット 3mm 軸用アダプタ〔Motor Shaft Adapters，2 個入〕 |
モータ軸に LEGO 部品で作られたアームを取り付けるために，Tenka 社の「D カット 3mm 軸用アダプタ (Motor Shaft Adapter)」 を利用します．Motor Shaft Adapters は日本国内では販売していないので，Tenka 社から直接，購入する必要があります．2 個入で 0.99 ドルなので安いのですが，送料が 26.36 ドルですので，余裕をもった個数を購入するのが良いでしょう．ちなみに，私は 30 セット（60 個）も購入しました …
… って記述していましたが，最近は，ポートトラストさんから購入できるようになったようです．
さて，このアダプタは Pololu 社のモータ用に製品化されたものなので，D カットの 3mm 軸に合うよう設計されています．DFRobot 社のモータは Pololu 社のモータと軸の形状は同じなので，このアダプタを利用できます．
D カットに対応しているので，負荷がかかった状況で使用しても，力をロスすることなく回転させることができます．
2.3 エンコーダと関連部品の調達
まずは，調達する部品のリストです．
| 製品名・仕様等 | 製造元 | 個数 | 購入先 | |
|---|---|---|---|---|
| 光学式エンコーダ | E20S2-360-3-V-5-R | AUTONICS 社 | 1 | ミスミ社 |
| LEGO ホイール用 2mm 軸用アダプタ | 2mm Shaft Adapter for LEGO Wheels (Pair)〔2 個入〕 | Pololu 社 | 1 | 朱雀技研工房ストア |
| なべ子ねじ | M2 × 8 | ― | 2 | モノタロウ（160 個入です） |
| ワッシャー | M2 | ― | 2 | 前節でモータ用に購入 |
エンコーダ軸に LEGO 部品を取り付けるため，Pololu 社の 「2mm 軸用アダプタ」を利用することにします．Pololu 社からは「3mm 軸用アダプタ」も販売されていますが，これは，六角軸に対応したものですので，エンコーダに利用することが困難です．
「2mm 軸用アダプタ」を利用するために，
- 軸径が 2mm
- 分解能がある程度高い
- エンコーダ側のねじ穴の間隔が LEGO 部品の穴の間隔とほぼ同じである
という条件を満足するエンコーダを選定する必要があります．これらの条件を満足するエンコーダをいろいろと探しましたが，最終的に，AUTONICS 社の「インクリメンタル型の光学式エンコーダ (E20S2-360-3-V-5-R)」を利用することにしました．価格は 9,160 円です（2022/05/30 現在）．
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| AUTONICS 社のエンコーダ E20S2-360-3-V-5-R |
なお，受注生産のようで，購入手続きをしてから届くまで，1 ヶ月半くらいを要します．
このエンコーダの分解能は，360 PPR（パルス / 回転）です．4 逓倍でカウントすると，$$
360 \times 4 = {\bf{1440}\ \bf\mbox{[カウント/回転]}}
$$ なので，$$
1440/360 = {\bf{0.25}}\ \bf\mbox{[度/カウント]}
$$ となります．振子の角度検出用としては，十分の精度でしょう．
3. 組立図
3.1 振子部の組立図
振子部の組立図の PDF ファイルは以下から入手できます．
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| 振子部の組立図 |
振子部は非常に単純な構造で，4 個の LEGO 部品で構成されています．
LEGO なので，振子の長さを変えたり，重さを変えたりすることも容易です．
3.2 土台部の組立図
土台部の組立図の PDF ファイルは以下から入手できます．
- ステップ 1：body_step1.pdf
- ステップ 2：body_step2.pdf
- ステップ 3：body_step3.pdf
- ステップ 4：body_step4.pdf
- ステップ 5：body_step5.pdf
- ステップ 6：body_step6.pdf
土台部の組立図において，ステップ 1 からステップ 3 まで（body_step1.pdf，body_step2.pdf，body_step3.pdf）は，指示にしたがって組み立ててください．
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| 土台部の組立図（ステップ 1） |
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| 土台部の組立図（ステップ 2） |
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| 土台部の組立図（ステップ 3） |
ステップ 3 では，EV3 replacement pack3 に含まれる部品を「おもり」として装着していますが，購入していない場合は，無視してください．
つづいて，ステップ 4 に進む前に，モータを LEGO 部品と結合します．
まず，Pololu 社の「モータブラケット」に DFRobot 社のモータをはめ込みます．モータブラケットは向きがありますので，注意をしてください．
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| Pololu 社のモータブラケットの向き |
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| モータをモータブラケットに装着 |
つぎに，モータブラケットのねじ穴に，M2 x 18 の「バインド小ねじ」を貫通させます．
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| モータブラケットに M2 x 18 の「バインド小ねじ」を貫通させる |
さらに，LEGO 部品 (デザイン ID：99773)
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| LEGO 部品（Technic, Liftarm, Modified Triangle Thin 3 x 5 with Short Supports，デザイン ID：99773） |
を 2 個，用意し，穴に M2 x 18 の「バインド小ねじ」を貫通させます．
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| LEGO 部品に「バインド小ねじ」を貫通させる |
そして，M2 の「ワッシャー」と M2 の「六角ナット」をはめ込み，M2 x 18 の「バインド小ねじ」を締めます．
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| 「ワッシャー」，「六角ナット」をはめ，「バインド小ねじ」を締める |
最後に，Tenka 社の「D カット 3mm 軸用アダプタ (Motor Shaft Adapter)」 を，モータ軸に差し込みます．
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| Tenka 社の D カット 3mm 軸用アダプタをモータ軸に差し込む |
以上でステップ 4 の下準備は終了です．
ステップ 4 からステップ 6 まで（body_step4.pdf，body_step5.pdf，body_step6.pdf），指示にしたがって組み立ててください．
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| 土台部の組立図（ステップ 4） |
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| 土台部の組立図（ステップ 5） |
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| 土台部の組立図（ステップ 6） |
以上で土台部が完成です．
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| 土台部 |
3.3 アーム部の組立図
アーム部の組立図のPDF ファイルは以下から入手できます．
アーム部を組み立てる前の下準備として，エンコーダを LEGO 部品と結合します．
まず，エンコーダ，LEGO 部品 (デザイン ID：99773) と M2 x 8 の「なべ子ねじ」2 個，M2 の「ワッシャー」2 個を準備します．
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| LEGO 部品（デザイン ID：99773），なべ小ねじ，ワッシャー |
そして，LEGO 部品の穴に「ワッシャー」と「なべ小ねじ」を通し，エンコーダの前面のねじ穴にしっかりと取り付けます．
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| LEGO 部品（デザイン ID：99773）に「ワッシャー」と「なべ小ねじ」を通し，エンコーダに取り付ける |
つぎに，LEGO 部品 (デザイン ID：99773)
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| LEGO 部品（デザイン ID：99773） |
を 2 個，用意し，エンコーダのコードを LEGO 部品の穴に通します．
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| エンコーダのコードを LEGO 部品の穴に通す |
エンコーダのコードは硬いので，アームを回転させると，バネのような反力を生じてしまいます．そこで，ワイヤーストリッパーで断片的（1 cm くらいごとに）に外皮部分を剥がしてください．
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| ワイヤーストリッパーで外皮を断片的に剥がす |
つぎに，エンコーダ軸にPololu 社の「2mm 軸用アダプタ」を装着します．
Pololu 社の「2mm 軸用アダプタ」の製品紹介を見ると，説明文に
https://www.pololu.com/product/1001
（原文）
Instructions
- Fit the adapter onto the metal output shaft of one of the four gearmotors linked above. You will need to push quite hard; be careful not to damage the gearmotor.
- Slide the adapter into a LEGO wheel of your choice.
（日本語訳）
＜略＞
かなり強く押し込む必要がありますが，ギヤモータを傷つけないように注意してください．
＜略＞
とあります．かなりどころか，元のままでは，どんなにがんばっても，モータ軸の先端しか「2mm 軸用アダプタ」の穴に入りません．「2mm 軸用アダプタ」の穴が狭すぎるのです．
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| 「2mm 軸用アダプタ」の穴が狭いので，モータ軸を奥まで挿し込めない |
したがって，「2mm 軸用アダプタ」の穴を少しだけ拡げる必要があります．少しだけです．拡げすぎるとガバガバになってしまい，エンコーダ軸が空転してしまいます．つまり，「2mm 軸用アダプタ」の少しだけ拡げられた穴にエンコーダ軸を挿し込み，摩擦で固定しなければなりません．
＃＃ 心配なら，接着剤を使ってみても良いかも．
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| 「2mm の精密ドライバー」の先端を「2mm 軸用アダプタ」の穴に挿し込み，左右に何回か回転させることで，穴を少しだけ拡げる |
「2mm 軸用アダプタ」の穴を少しだけ拡げるために，穴に「2mm の精密ドライバー」の先端をまっすぐに挿し込み，左右に何回か回転させます．このとき，先端は奥に入れすぎないようにしてください．穴を拡げすぎてガバガバになってしまいますので．『少し削っては挿し込めるかを確認』し，慎重に作業を進めてください．
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| 「2mm 軸用アダプタ」の穴を少しだけ拡げると，エンコーダ軸の根本付近まで挿し込める |
なお，「2mm 軸用アダプタ」の根本が LEGO 部品 (デザイン ID：99773) に接触しないように注意してください．
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| 「2mm 軸用アダプタ」の根本が LEGO 部品 (デザイン ID：99773) に接触しないようにする |
以上の下準備が終了したら，arm.pdf にしたがって，アーム部を完成させてください．
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| アーム部の組立図 |
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| アーム部 |
3.4 完成図
以上でそれぞれの部分ができあがったので，合体させてください．
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| 完成図 |
4. おわりに
今回の記事では，LEGO 部品と汎用のモータ，エンコーダを利用して，「回転型倒立振子」を製作する手順を説明しました．
次回は，MinSeg.com 社から販売されている車輪型倒立振子のキット に含まれている，MinSegShield M2V5（Arduino 互換マイコン＋シールド）との接続について説明する予定です．これ，簡単に Simulink と連携できる優れものです．
さて，いつになることやら…
（終わり）
参考文献
-
K. Furuta, M. Yamakita, and S. Kobayashi: Swing-up Control of Inverted Pendulum Using Pseudo-state Feedback, Journal of Systems and Control Engineering, Vol.206, pp.263-269 (1992)
$\cdots\cdots$ https://doi.org/10.1243/PIME_PROC_1992_206_341_02 -
K. J. Åström, and K. Furuta: Swinging Up a Pendulum by Energy Control, Automatica, Vol.36, Issue 2, pp.287-295 (2000)
$\cdots\cdots$ https://doi.org/10.1016/S0005-1098(99)00140-5 -
杉江俊治, 岡田昌史：並列倒立振子システムの H∞ 制御，Vol.6, No.12, pp.543-551 (1993)
$\cdots\cdots$ https://doi.org/10.5687/iscie.6.543 -
川田昌克：MATLAB/Simulink と実機で学ぶ制御工学 ― PID 制御から現代制御まで ―，TechShare (2013)
-
川田昌克：LEGO MINDSTORMS を利用した回転型倒立振子の開発，計測と制御，Vol.54，No.3，pp.192-195 (2015)
$\cdots\cdots$ https://doi.org/10.11499/sicejl.54.192