Quantum Chemistry - Harmonic Oscillator Energy Levels ##migrated

CG分野で使われるSpherical Harmonics。自分の数値シミュレーション計算に用いたいと思い調べると、量子化学の講義にたどり着く。

短く分かりやすそうな159本のビデオを少しずつ消化中。

Quantum Chemistry - Harmonic Oscillator Energy Levels
https://www.youtube.com/watch?v=GPM9NYCY0f0&index=46&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh

H.O.
- Harmonic Oscillator
Quantum Harmonic Oscillator model systemでのEnergy Levelを見る
緑の式
- Schrodinger Equation
- 関連 http://qiita.com/7of9/items/e1d711685ac92f729fc9
- ハミルトンオペレータH
- このビデオの右上のT.I.S.Eの式
  - T.I.S.E: Time Independent Schrodinger Equation
紫の式
- ハミルトンオペレータHの定義
- このビデオの右側黄色の式の左辺
ピンクの式
- Potential energy function V(x)
- kはspring constant
- x : displacement away from equilibrium bond length
  - 平衡となるbond lengthからの変位
黄色の式
- reduced mass
- http://qiita.com/7of9/items/00e564fcbb13268b4fa7
水色の式
- 緑の式に紫の式、ピンクの式を代入して整理した
- mは黄色の式から$\mu$になっている
緑の式
- Energyはn表記のように量子化された値
- $\nu$: 周波数
  - このビデオの左側、オレンジの式の中段にて定義されている
  - H.O. (Harmonic Oscillator)モデルの式から$\nu$が得られる
紫の式
- 緑の式の別の書き方
- ヘイチバー = h / 2piより
右上の図の左側
- energy levelについての検討
- 左下紫の式において$\omega$に注目
  - $\omega$=sqrt(k/$\mu$)
  - spring constant kが大きくなるとEnも大きくなり
  - 各energy levelが離れた状態になる
  - また、kが増えることで、放物線が閉じた状態になる
  - .
  - 一方で、reduced mass $\mu$が増えると
  - $\omega$が小さくなりenegy levelが近くなる
  - 放物線は開いた状態になる
- 他の注目点として
  - energy levelは等間隔
    - equally spaced
  - 図の中の右側の水色がenergy Enの値
右上の図の右側
- 今回扱っているのはHarmonic Oscillatorモデル
- それはr0近辺では2次のテイラー級数展開式で近似できる
- その近似はEnが増えると近似精度が落ちる
- そのあたりは今後のビデオで見ることになる
- .
- De: dissociation energy
  - r0の時のenergy
最後の注目点として
- 左下緑の式にてn=0としてもEnは0にはならない
- n=0の時というのはr0の状態ではない
- 右上図の左側の一番下にある黄色の線と、図の右側r0近辺の黄色横線がE0
  - E0はr0とは一致していない
- Ground State Energy E0
  - n=0の時のenergyでそれは0でない
  - この時、Z.P.V.E. (Zero Point vibrational Energy)を生じている