関連 http://qiita.com/7of9/items/d3a1799928734375f34f
CG分野で使われるSpherical Harmonics。自分の数値シミュレーション計算に用いたいと思い調べると、量子化学の講義にたどり着く。
短く分かりやすそうな159本のビデオを少しずつ消化中。
Quantum Chemistry - Reduced Mass
https://www.youtube.com/watch?v=iUwBW4e9n6g&index=45&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh
- reduced massについて
- Harmonic Oscillatorモデルにおいてどういうmassを扱うのがいいか?
- 左上の図
- atom1(massはm1)
- atom2(massはm2)
- 2つのatomはspring constant kで結ばれている
- そのためPotential energy function V(x)は水色の式となる
- x1はatom1の位置
- xはrとr0の差分
- r0 (r nought): energy minimumの時のr
- xはrとr0の差分
- x2はatom2の位置
- オレンジの式: rはx1とx2の差の絶対値として定義
- 左上の紫の式
- V()の微分はF
- それはmass * 加速度
- 加速度はxの2回微分
- 中段の緑の式
- atom1, atom2についてそれぞれの式を見る
- 左側は質量と加速度の積
- 2つ目の式は、本人に確認したところ以下のようだ(僕の理解が間違っている可能性はある)
- 力は(r - r0)に係数kがかかったもの
- r - r0にてrというのは2つのatomの距離(x2 - x1)
- そのため (x2 - x1 - r0)に係数kがかかった式となる
- 3つ目の式は
- x2 - x1 = r
- r - r0 = xよりkxとして求まる
- atom2についても同様に得られる
- 2つ目の式においては、力のかかる向きが反対のためマイナス符号がつく
- 紫の式1つ目
- 緑の式の1つ目を足した式
- それはkxと-kxの合計なので0になる
- 紫の式2つ目
- 紫の式1つ目を整理
- $d^2$ / $dt^2$で囲ったのが右上の$m_1 x_1 + m_2 x_2$
- さらに$(m_1 + m_2)$の係数を出して(左側)、同時に$1/(m_1 + m_2)$倍とした(右下)
- 右上のピンク
- total mass M
- 質量の重心 X
- (補足) center of gravityとい用語を思い出した
- 黄色の式
- 左下の紫の式にMとXを入れた
- c.o.m : center of mass
- c.o.mは時間変化しないことを示す
- 外力が働かない限りc.o.mの時間変化はない (左上の図にて系が静止している状態。atom同士は移動している)
- 水色の式
- 反対のケースを検討
- x2の2回微分からx1の2回微分を引いた式
- x2の2回微分は左中段の緑の式2つ目をm2で割って得られる
- -kx / m2
- 同様にx1の2回微分は kx / m1
- オレンジの式
- 水色の式を整理
- 左: $d^2$ / $dt^2$で囲った
- 右: kで囲った
- (補足) 囲うの英語: factor out
- 紫の式
- $\mu$という定義を導入
- その逆数の和は1/m1 + 1/m2
- $\mu$を逆数の和から計算すると右のm1m2/(m1+m2)が得られる
- 緑の式
- オレンジの式の左に$\mu$をかける
- x = (x2 - x1)
- 右側の(1/m1 + 1/m2)に(1/m1 +1/m2)^(-1)がかかって1になる
- -kxが残る
- 左側は$\mu$に加速度がかかった値
- 右側-kxはForce
- 水色
- 以上で分かった事項
- massというのはreduced mass $\mu$であった
- そのためangular velocity omegaはk/$\mu$の平方根となる