普段はRailsのサブセットとしてのJavaScript（CoffeeScript）しか書いておらず、この手の話は浅学のため、ご指摘などコメントいただけると幸いです

1. 予備知識

Prototype

既存のオブジェクトを拡張することで機能を提供するライブラリ。
例えばArrayやString、またグローバルな名前空間のうち、ClassやHashといった汎用性のある名前を利用している。
このため名前の衝突が生じやすいという問題があった。

jQuery

WebブラウザのためのJavaScriptを容易に記述できるライブラリ。
実装をjQuery（$）という名前空間に集約することで、Prototypeにおける衝突の問題を解決している。

大規模アプリケーション開発

JavaScriptにおける大規模なアプリケーション開発の場合、実装をMV*に分割する必要性が生じる。
この分割を進めると、モジュール間の依存関係が生まれる。
しかし、JavaScript単体にはこれを解決するモジュールシステムは存在しなかった。
このための解決策として、後述するCommonJSが登場する。

2. モジュールシステムのためのAPI仕様

CommonJS

JavaScriptでサーバサイドを開発するために生まれた標準APIの仕様。
元々ServerJSという名前だったが、後にその他の分野にも適用可能なものになりCommonJSに改めた。

CommonJSにはファイル操作など様々なAPIの仕様が策定されているが、その中でモジュールに関するものもある。
「moduleやexportsでモジュールを定義し、requireで読み込みこれを利用する」といった、現在主流になっている仕様を策定している。

http://kaihooo.com/node-js/

AMD

Asynchronous Module Definitionの名のとおり、モジュールの非同期定義に関するAPI仕様。
当初CommonJSはブラウザ環境を考慮していなかったが、AMDはこれを考慮し、遅延読み込みに対応した。

元々はCommonJSで策定が進められていたが、後に切り離された。

http://qiita.com/nanocitrus/items/70f1316debf05b93ac82

API仕様の各実装

Node.jsのrequire

CommonJSのモジュールAPIの仕様に従った実装（だった）。
現在はCommonJSの仕様の枠を超え、Node.js独自の実装も行なわれている。
CommonJSの仕様を広めるきっかけになる。

Browserify

CommonJSのモジュールAPIの仕様に従って書かれたJavaScriptを、ブラウザ上で動作可能にしたモジュールシステム。

requireに指定されたモジュールを、読み込むのではなく事前にビルドすることで問題を解決する。
またこの際、依存関係も同時に解決する。

RequireJS

AMDのモジュールAPIの仕様に従った実装。
依存関係の解決は、Browserifyと異なり、ビルド時ではなく実行時に行なう。

WebPack

RequireJSやBrowserifyよりも後発のモジュールシステム。
ビルドプロセスで依存関係を解決するが、CommonJSとAMDの両方のスタイルをサポートする。

JavaScriptだけでなく、スタイルシートや画像などのアセット全般を扱うことができ、またさまざまなオプションも設定できる。

http://qiita.com/yosisa/items/61cfd3ede598e194813b

ES6のモジュール

ES6ではモジュールシステムに関する仕様が策定されている。
CommonJSの仕様に近く、exportでモジュールを定義し、importで読み込む。

JavaScriptの標準仕様となることから、将来的にES6のモジュールに置き換わることが予想される。

http://uehaj.hatenablog.com/entry/2015/11/07/001848

3. モジュールに関する現状の実装指針

ES6のモジュールシステムを見据えつつ、BrowserifyかWebPackで目的に合った方を採用すればよい。

4. 備考

パッケージ管理システム

npm

Node Package Managerの名のとおり、Node.jsにおけるパッケージ管理ツール。
Rubyでいうところのgem。
Node.jsはブラウザに依存しないプラットフォームであるため、npmで公開されているパッケージもこれに準じている（ものが多い）。

ただし、npmは公式にフロントエンドのパッケージも登録することを呼びかけており、後述するbowerの利用は衰退するものと思われる。

bower

ブラウザ環境のためのパッケージ管理ツール。
Node.jsにおけるnpmの、ブラウザ環境バージョンのようなもの。
npmパッケージのひとつで、Twitterが開発。

http://yosuke-furukawa.hatenablog.com/entry/2013/06/01/173308