米田の補題は、圏論でもっとも重要な定理です（繰り返し）
圏論は、数学の基礎理論です。いままで、万物の理論
といわれていましたが、数理科学 11月号では、なんと 万物・万事・万人のための数学理論とまでいわれるようになりました
このAdventCalendar は、体験的に圏論の最も重要な定理である米田の補題を体験的に理解してもらうためにかいています
参考にしているのは、圏論の道案内です
結合則 定義 難しい
射f 射g 射h があって、射f 射g を合成して、次に射hを合成できるなら射g 射h を合成してその前になる射fを合成しても同じものになる。つまり、射が同じものになるということです。射の合成が一意の延長線上ですね。
でも、なにいっているかわかりにくいですよね。
自然数＋加法 では簡単に定義できます。a+b+c は、a+bをさきに計算して、c を足した結果と、b+cをさきにけいさんして、a に b+c の結果をくわえても同じものになるということです。射の値が自然数になっているのでわかりやすいです。射が、+a,+b,+c になります。最初の域は、0 ですね。余域は、+a になります。
射が
図式では、こんなかんじかな ２行目と３行目の射が同じものになるということですね 射のならべ方は、すみません 慣例に反しています。この書き方なんで、違和感があるので揃えました。
先とか後のように、時系列でつい考えてしまいますが、圏論の図式は、時系列を考慮しないですむ方向に導いてくれます。では、米田の補題川柳です
米田の補題川柳 合成はどこでもできる便利だな
どこを合成しても同じなら、一番最後だけを合成することもできます。そして一番最後だけを合成すればいいなら、前工程はやらなくてすみます。残念ながら、自然数でかんがえればわかるように、前工程の計算は必要になります。ただ、時間稼ぎをするには、便利です。時間のかかる射はゆっくりで、簡単なものからどんどん処理していきます。無駄な処理待ち時間を減らせるので便利ですね。いずれにしろ並列作業が可能な前提にはなります。