米田の補題は、圏論でもっとも重要な定理です（繰り返し）
圏論は、数学の基礎理論です。いままで、万物の理論
といわれていましたが、数理科学 11月号では、なんと 万物・万事・万人のための数学理論とまでいわれるようになりました
このAdventCalendar は、体験的に圏論の最も重要な定理である米田の補題を体験的に理解してもらうためにかいています
参考にしているのは、圏論の道案内です
恒等射 めちゃくちゃ重要
圏の定義だけでも、実はめちゃくちゃ難しいです。自然数のようなお行儀のよい対象の世界から、一歩踏み出して、現実の世界に応用しようとすると、ボロボロになります。その筆頭が、恒等射です。
定義は、対象Aを選んだとき、Aを域、余域にするある特別の射が一意に存在します。その射はAを余域とする任意の射fと合成すると結果はfになり、Aを域とする任意の射gと合成するとgになります。
通常の会話では、何もしない射だと説明されます。
恒等射が存在しないと圏にはなりません。日常の活動に、圏を導入しようとすると恒等射とはなにかが問題になります。企画では、いままで、素朴に射を、きっかけ -> 次 のように扱ってきましたが、恒等射はなんになるでしょうか？ 何もしない射として導入してよいのでしょうか？ ちゃぶ台返しになりますが、いままで、対象とか射と表現してきましたが、その表現は的確だったのでしょうか？ 自然数では、ゼロがあるので、対象に０を足すことが恒等射になります。余域と域と合成するかの区別がありますが、どちらもがあるので恒等射の定義からは、対象それぞれに恒等射があります。射全体は、パラメータ３つなので、（A,A,恒等射の値）のようになります。自然数では、恒等射の自然数としての値がゼロ固定です。対象によって異なることはないです。これは、恒等射の定義からするとかなりきつい設定です。
では、米田の補題川柳です
米田の補題川柳 もとままに戻ることはすごいこと
恒等射はそれだけでは意味がなく、逆射と組になってはじめて効果を発揮します。逆射でなにもしない状態に戻れるわけです。圏の体裁を無視して、話をすすめると、システム開発でもとにもどせることです。グリコのシステム障害でわかるように、もとにすぐに戻せるのは非常に重要です。自然数の圏では残念ながら、逆射はないです。無理に自然数的な圏の応用事例を考えるなら、何もしないでじっとまって機会を伺うということでしょう。