米田の補題は、圏論でもっとも重要な定理です（繰り返し）
圏論は、数学の基礎理論です。いままで、万物の理論
といわれていましたが、数理科学 11月号では、なんと 万物・万事・万人のための数学理論とまでいわれるようになりました
このAdventCalendar は、体験的に圏論の最も重要な定理である米田の補題を体験的に理解してもらうためにかいています
参考にしているのは、圏論の道案内です
モノイドの圏
ますます数学的な話です。しょうがないのでモノイドという言葉は覚えましょう。自然数 + 足し算 はモノイドです。例として、自然数を提示してきました。モノイドは、とりあえず、自然数だと割り切りましょう。用語としては、マグマ、半群、モノイド、群などが代数構造の呼び名になります。覚えるのは大変なので、モノイドだけはまず覚えましょう。それで、ちがうものおなじとみなすすごいことの触りを紹介します。モノイド準同型です。何がおいしいのかは、すみません、さきにすすまないとわかりません。
{\LARGE MとM^\primeがモノイド準同型とは}\\
{\LARGE集合の写像f:M->M^\prime}
$${\LARGE f(a∘_M b)=f(a)∘_M\prime(b)}$$
$${\LARGE f(1_M)=1_M\prime}$$
ようするに、合成と単位元０（射では、恒等射）が移れば準同型だというわけです。自然数＋足し算がわかりやすいです。１からはじめるかわりに２からはじめても、３からはじめても同じ構造でしょう。もちろん単位元０は残します。
米田の補題川柳 モノイドは単位元こそ重要だ
なんとなく単位元 つまり 恒等射が重要なんだなと思えてきたでしょうか？ ただこの状態だと、普段の企画会議をすすめるのに画期的に役立つには程遠いです。米田の補題は、証明ぬきで関係は内容よりも重要だと説明した程度で、事実上は使えます。