前編

この記事の続きです。

0.1の浮動小数点数は0.1より大きいのに、10回足すと1.0より小さいのはなぜか【前編】

(前編からのコピー)0.1を浮動小数点数で表すと

0.1を浮動小数点数で表したときの符号、指数、仮数は以下です。

符号 = 0
指数 = 01111111011
仮数 = 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

指数を10進数で表すと1019です。浮動小数点形式の指数は1023が足されていますので、これを引くと-4になります。

(前編からのコピー)0.1を足していったときの結果とどのくらい足されているか

ヘッダを除いた奇数行に0.1を足していったときの計算結果、偶数行にそれぞれの差分は以下の表に示します。

期待値	計算結果/差分
0.1	`0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625`
`0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625`
0.2	`0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125`
`0.100000000000000033306690738754696212708950042724609375`
0.3	`0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125`
`0.09999999999999997779553950749686919152736663818359375`
0.4	`0.40000000000000002220446049250313080847263336181640625`
`0.09999999999999997779553950749686919152736663818359375`
0.5	`0.5`
`0.09999999999999997779553950749686919152736663818359375`
0.6	`0.59999999999999997779553950749686919152736663818359375`
`0.09999999999999997779553950749686919152736663818359375`
0.7	`0.6999999999999999555910790149937383830547332763671875`
`0.09999999999999997779553950749686919152736663818359375`
0.8	`0.79999999999999993338661852249060757458209991455078125`
`0.09999999999999997779553950749686919152736663818359375`
0.9	`0.899999999999999911182158029987476766109466552734375`
`0.09999999999999997779553950749686919152736663818359375`
1.0	`0.99999999999999988897769753748434595763683319091796875`

(前編からのコピー)浮動小数点数の足し算の手順

正の浮動小数点数同士の足し算は以下の手順で行われます。

① 指数が小さい方を指数が大きい方に合わせる
② 指数を大きくしたぶん、仮数を小さくして調整する
③ 仮数を足し合わせる
④ 繰り上げが発生した場合は、指数に1を足しそのぶん仮数を小さくする
⑤ 仮数のあふれてしまった桁を丸める(偶数丸め)

(前編からのコピー)保護桁とスティッキビット

保護桁(Guard digits)はあふれてしまった桁を保存する領域です。
スティッキビット(Sticky bit)は保護桁以下の数に1以上の数が含まれているかどうかを表す真偽値です。

前編で、正の数の加算では保護桁は1桁で十分という話が出ましたが、負の数まで拡張する場合は2桁必要です。
以下では保護桁2桁とスティッキッビットを使用します。保護桁の2桁(2bit)には、上からガードビット(Guard bit)、ラウンドビット(Round bit)という名前がついています。

0.1を10回足したときの計算過程

0.1を足したときの計算過程を順を追って確かめます。

今回使用する表現

今回は以下のような図を用いて説明を行います。

番号	列名	説明
①	概算	どのような計算を行なっているのか大まかに記載しています。
②	指数(十進数)	浮動小数点数で表された指数を、10進数に変換し、1023を引いたものです。
③	繰り上がり	足し算した結果、桁が繰り上がることがあるのでそのぶんの領域を確保しています。
④	整数部	浮動小数点形式では整数部は常に`1`です。
⑤	0から52	仮数です。52桁全部を表示するとみにくくなるため、上位8桁と下位8桁のみ表示しています。
⑥	ガード・ラウンド・スティッキ	上で説明した保護桁とスティッキビットです。

0.1 + 0.1 の計算過程

0.1 + 0.1の計算過程を確かめます。

① 指数が小さい方を指数が大きい方に合わせる
② 指数を大きくしたぶん、仮数を小さくして調整する
指数が同じなので何もしません。

③ 仮数を足し合わせる
足し合わせた結果です

④ 繰り上げが発生した場合は、指数に1を足しそのぶん仮数を小さくする
繰り上げが発生しているので、指数に1を足し、仮数を2で割ります。2進数なので、2で割ると右に桁が1つずれます(ビットシフト)。

⑤ 仮数のあふれてしまった桁を丸める(偶数丸め)
あふれたビットは0のみなので、切り捨てます。

以上で、

指数 = -3 (10進数)
仮数 = 1001100110011001100110011001100110011001100110011010 (2進数)

が得られました。これを10進数に変換すると、

0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125

です。

0.2(累積和) + 0.1 の計算過程

上で得られた値にさらに0.1を足します。

① 指数が小さい方を指数が大きい方に合わせる
② 指数を大きくしたぶん、仮数を小さくして調整する
0.2の方が指数が1大きいので、0.1の指数に1を足し、仮数を1つ右にずらします

③ 仮数を足し合わせる
足し合わせた結果です。

④ 繰り上げが発生した場合は、指数に1を足しそのぶん仮数を小さくする
繰り上げが発生しているので、指数に1を足し、仮数を右に1つずらします。

⑤ 仮数のあふれてしまった桁を丸める(偶数丸め)
あふれてしまった桁は10で、半分ちょうどなので、偶数方向に丸めます。今回は仮数の最下位ビットが1なので、切り上げます。

以上で、

指数 = -2 (10進数)
仮数 = 11001100110011001100110011001100110011001100110100 (2進数)

が得られました。これを10進数に変換すると、

0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125

です。

0.2(累積和) + 0.1では、もともと0.1が浮動小数点数では0.1より大きいことと、足した結果をさらに切り上げていることで、printしたときに期待したのとは違う結果が表示されます。

print(0.1 + 0.1 + 0.1)
# => 0.30000000000000004

0.3(累積和) + 0.1 の計算過程

上で得られた値にさらに0.1を足します。

① 指数が小さい方を指数が大きい方に合わせる
② 指数を大きくしたぶん、仮数を小さくして調整する
0.3の方が指数が2大きいので、0.1の指数に2を足し、仮数を2つ右にずらします。

③ 仮数を足し合わせる
足し合わせた結果です。

④ 繰り上げが発生した場合は、指数に1を足しそのぶん仮数を小さくする
繰り上げは発生しなかったので、何もしません

⑤ 仮数のあふれてしまった桁を丸める(偶数丸め)
あふれてしまった桁は10で、半分ちょうどなので、偶数方向に丸めます。今回は仮数の最下位ビットが0なので、切り捨てます。

以上で、

指数 = -2 (10進数)
仮数 = 1001100110011001100110011001100110011001100110011010 (2進数)

が得られました。これを10進数に変換すると、

0.40000000000000002220446049250313080847263336181640625

です。

0.4(累積和) + 0.1 の計算過程

上で得られた値にさらに0.1を足します。

① 指数が小さい方を指数が大きい方に合わせる
② 指数を大きくしたぶん、仮数を小さくして調整する
0.4の方が指数が2大きいので、0.1の指数に2を足し、仮数を2つ右にずらします。

③ 仮数を足し合わせる
足し合わせた結果です。仮数部のすべての値が0になりました。

④ 繰り上げが発生した場合は、指数に1を足しそのぶん仮数を小さくする
繰り上げが発生しているので、指数に1を足し、仮数を1つ右にずらします。

⑤ 仮数のあふれてしまった桁を丸める(偶数丸め)
あふれてしまった桁は010なので切り捨てられます。

以上で、

指数 = -1 (10進数)
仮数 = 0000000000000000000000000000000000000000000000000000 (2進数)

が得られました。これを10進数に直すと、

0.5

です。ぴったりになったのは偶然です。

0.5(累積和) + 0.1 の計算過程

上で得られた値にさらに0.1を足します。

① 指数が小さい方を指数が大きい方に合わせる
② 指数を大きくしたぶん、仮数を小さくして調整する
0.5の方が指数が3大きいので、0.1の指数に3を足し、仮数を3つ右にずらします。

③ 仮数を足し合わせる
足し合わせた結果です。

④ 繰り上げが発生した場合は、指数に1を足しそのぶん仮数を小さくする
繰り上げは発生しなかったので、何もしません

⑤ 仮数のあふれてしまった桁を丸める(偶数丸め)
あふれてしまった桁は010なので切り捨てられます。

以上で、

指数 = -1 (10進数)
仮数 = 11001100110011001100110011001100110011001100110011 (2進数)

が得られました。これを10進数に直すと、

0.59999999999999997779553950749686919152736663818359375

です。

0.6(累積和) + 0.1、0.7(累積和) + 0.1、0.8(累積和) + 0.1の計算過程

0.6から0.8までは0.5(累積和) + 0.1とほぼ同様なので省略します。値の切り捨てが発生するので、この範囲では1より小さい数が足されています。

0.9(累積和) + 0.1 の計算過程

こちらも0.5(累積和) + 0.1とほぼ同様ですが、結果がどのようになるかみてみましょう。

① 指数が小さい方を指数が大きい方に合わせる
② 指数を大きくしたぶん、仮数を小さくして調整する
0.9の方が指数が3大きいので、0.1の指数に3を足し、仮数を3つ右にずらします。

③ 仮数を足し合わせる
足し合わせた結果です。

④ 繰り上げが発生した場合は、指数に1を足しそのぶん仮数を小さくする
繰り上げは発生しなかったので、何もしません

⑤ 仮数のあふれてしまった桁を丸める(偶数丸め)
あふれてしまった桁は010なので切り捨てられます。

以上で、

指数 = -1 (10進数)
仮数 = 1111111111111111111111111111111111111111111111111111 (2進数)

が得られました。これを10進数に直すと、

0.99999999999999988897769753748434595763683319091796875

です。

ここまでで、0.1を10回足したときの動作を確認することができました。

まとめ

0.1を浮動小数点数にすると0.1よりわずかに大きくなるのに、10回足すと1.0より小さいのはなぜか、の答えは、
2つの浮動小数点数を足す際に、仮数に入りきらない数を丸めるから、でした。

参考資料

使用したツールなど