問.

0〜3[m]の範囲を計測可能なセンサを前方に搭載したロボット
センサは故障すると常に1[m]未満の値を出力する
障害物がロボットの前方0〜3[m]の間で一様ランダムに出現する
センサが壊れている確率は1[%]だと知っている

以上の条件において，ロボットが$N$回障害物を計測したところ，全て1[m]未満の値となった．センサが壊れている確率を定式化し，$N=1〜10$の範囲で事後確率を計算せよ

答.

$p(A)$ : センサの出力が1[m]未満となる確率
$p(B)$ : センサが壊れている(事前)確率
$p(A|B)$ : センサが壊れているとき，出力が1[m]未満となる確率
$p(B|A)$ : 出力が1[m]未満のとき，センサが壊れている(事後)確率

ベイズの定理より，
$$p(B|A) = \frac{p(A|B) p(B)}{p(A)}$$
である．上記の確率が全て確定すれば答えが出る．

まず，センサの出力が1[m]未満となる確率$p(A)$は，センサが正常で障害物が1[m]未満にある確率と，センサが壊れている確率の合算なので，

$$p(A) = \frac{99}{100} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{100}$$

次に，センサが壊れている(事前)確率$p(B)$は，問題文より，
$$p(B) = \frac{1}{100}$$

センサが壊れているとき，出力が1[m]未満となる確率$p(A|B)$はこれも問題文より，
$$p(A|B) = 1$$

以上の結果をベイズの定理に代入することで，出力が1[m]未満のとき，センサが壊れている(事後)確率$p(B|A)$を得る．

\begin{align}
p(B|A) &= \frac{p(A|B) p(B)}{p(A)} \\
&= \frac{1 \cdot \frac{1}{100}}{\frac{99}{100} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{100}} \\
&= \frac{1}{34} \fallingdotseq 2.9[\%]
\end{align}

これが$N=1$のとき．
続けて$N=2$のときを計算するとき$N=1$で算出した結果を元に計算する．すると，$p(A)$の値と$p(B)$の値が変化する．これを ベイズ更新と言う．

$N=2$のとき，

\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{1}{34}}{\frac{33}{34} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{34}} \\
&= \frac{1}{12} \fallingdotseq 8.3[\%]
\end{align}

$N=3$のとき，

\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{1}{12}}{\frac{11}{12} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{12}} \\
&= \frac{3}{14} \fallingdotseq 21[\%]
\end{align}

$N=4$のとき，

\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{3}{14}}{\frac{11}{14} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{14}} \\
&= \frac{9}{20} \fallingdotseq 45[\%]
\end{align}

$N=5$のとき，

\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{9}{20}}{\frac{11}{20} \cdot \frac{1}{3} + \frac{9}{20}} \\
&= \frac{27}{38} \fallingdotseq 71[\%]
\end{align}

$N=6$のとき，

\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{27}{38}}{\frac{11}{38} \cdot \frac{1}{3} + \frac{27}{38}} \\
&= \frac{81}{92} \fallingdotseq 88[\%]
\end{align}

$N=7$のとき，

\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{81}{92}}{\frac{11}{92} \cdot \frac{1}{3} + \frac{81}{92}} \\
&= \frac{243}{254} \fallingdotseq 96[\%]
\end{align}

$N=8$のとき，

\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{243}{254}}{\frac{11}{254} \cdot \frac{1}{3} + \frac{243}{254}} \\
&= \frac{729}{740} \fallingdotseq 99[\%]
\end{align}

$N=9$のとき，

\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{729}{740}}{\frac{11}{740} \cdot \frac{1}{3} + \frac{729}{740}} \\
&= \frac{2187}{2198} \fallingdotseq 100[\%]
\end{align}

$N=10$のとき，

\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{2187}{2198}}{\frac{11}{2198} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2187}{2198}} \\
&= \frac{6561}{6572} \fallingdotseq 100[\%]
\end{align}