問.
- 0〜3[m]の範囲を計測可能なセンサを前方に搭載したロボット
- センサは故障すると常に1[m]未満の値を出力する
- 障害物がロボットの前方0〜3[m]の間で一様ランダムに出現する
- センサが壊れている確率は1[%]だと知っている
以上の条件において,ロボットが$N$回障害物を計測したところ,全て1[m]未満の値となった.センサが壊れている確率を定式化し,$N=1〜10$の範囲で事後確率を計算せよ
答.
$p(A)$ : センサの出力が1[m]未満となる確率
$p(B)$ : センサが壊れている(事前)確率
$p(A|B)$ : センサが壊れているとき,出力が1[m]未満となる確率
$p(B|A)$ : 出力が1[m]未満のとき,センサが壊れている(事後)確率
ベイズの定理より,
$$p(B|A) = \frac{p(A|B) p(B)}{p(A)}$$
である.上記の確率が全て確定すれば答えが出る.
まず,センサの出力が1[m]未満となる確率$p(A)$は,センサが正常で障害物が1[m]未満にある確率と,センサが壊れている確率の合算なので,
$$p(A) = \frac{99}{100} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{100}$$
次に,センサが壊れている(事前)確率$p(B)$は,問題文より,
$$p(B) = \frac{1}{100}$$
センサが壊れているとき,出力が1[m]未満となる確率$p(A|B)$はこれも問題文より,
$$p(A|B) = 1$$
以上の結果をベイズの定理に代入することで,出力が1[m]未満のとき,センサが壊れている(事後)確率$p(B|A)$を得る.
\begin{align}
p(B|A) &= \frac{p(A|B) p(B)}{p(A)} \\
&= \frac{1 \cdot \frac{1}{100}}{\frac{99}{100} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{100}} \\
&= \frac{1}{34} \fallingdotseq 2.9[\%]
\end{align}
これが$N=1$のとき.
続けて$N=2$のときを計算するとき$N=1$で算出した結果を元に計算する.すると,$p(A)$の値と$p(B)$の値が変化する.これを ベイズ更新と言う.
$N=2$のとき,
\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{1}{34}}{\frac{33}{34} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{34}} \\
&= \frac{1}{12} \fallingdotseq 8.3[\%]
\end{align}
$N=3$のとき,
\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{1}{12}}{\frac{11}{12} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{12}} \\
&= \frac{3}{14} \fallingdotseq 21[\%]
\end{align}
$N=4$のとき,
\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{3}{14}}{\frac{11}{14} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{14}} \\
&= \frac{9}{20} \fallingdotseq 45[\%]
\end{align}
$N=5$のとき,
\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{9}{20}}{\frac{11}{20} \cdot \frac{1}{3} + \frac{9}{20}} \\
&= \frac{27}{38} \fallingdotseq 71[\%]
\end{align}
$N=6$のとき,
\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{27}{38}}{\frac{11}{38} \cdot \frac{1}{3} + \frac{27}{38}} \\
&= \frac{81}{92} \fallingdotseq 88[\%]
\end{align}
$N=7$のとき,
\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{81}{92}}{\frac{11}{92} \cdot \frac{1}{3} + \frac{81}{92}} \\
&= \frac{243}{254} \fallingdotseq 96[\%]
\end{align}
$N=8$のとき,
\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{243}{254}}{\frac{11}{254} \cdot \frac{1}{3} + \frac{243}{254}} \\
&= \frac{729}{740} \fallingdotseq 99[\%]
\end{align}
$N=9$のとき,
\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{729}{740}}{\frac{11}{740} \cdot \frac{1}{3} + \frac{729}{740}} \\
&= \frac{2187}{2198} \fallingdotseq 100[\%]
\end{align}
$N=10$のとき,
\begin{align}
p(B|A) &= \frac{1 \cdot \frac{2187}{2198}}{\frac{11}{2198} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2187}{2198}} \\
&= \frac{6561}{6572} \fallingdotseq 100[\%]
\end{align}