FBXと同時にテクスチャを書きだしたい場合、テクスチャを画像ファイルとして別で書きだす方法と、FBXにテクスチャを埋め込む方法があります。
私は外部のツールを使用したときに、テクスチャが埋め込まれている方式を使用しないといけず、書き出し方法が分からずに困ったため、今回は備忘録もかねて解決策を共有します。

前提

本記事はテクスチャがすでにメッシュに設定されており、書き出しがうまくいかない人に向けたものです。
テクスチャの作成法や設定法については本記事では省きます。

手順1:エクスポート設定の画面を開く

右上のGUIからFile->Export->FBX(.fbx)をクリックして、エクスポート設定の画面を開きます。

手順2:Path Modeの設定を変更する

エクスポート設定画面のの右上にあるPath Modeの設定はデフォルトではAutoになっているので、Copyに変更してください。
変更したら、その右にあるアイコンをクリックして、青色にしてください。

アイコンをクリックしない場合、テクスチャデータとメッシュデータが別々に保存される設定となります。

手順3:パスを指定してエクスポート

任意のパスを指定して、エクスポート画面右下のExport FBXをクリックすることで、指定したパスにFBXファイルをエクスポートできます。

指定したパスに保存されていたら成功です。

総括

FBX形式のファイルには、テクスチャデータを埋め込むものと別ファイルで書きだす方法がある。
Path Modeを設定することで、テクスチャデータの保存方法を設定することが可能。