はじめに

こんにちは清水です。
秋葉原ロボット部の理論グループでは、つぎの輪読会をネット上で行っています。
「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」 2017 石井俊全

このなかで、計量テンソル（metric tensor）がでてきます。
本記事は、計量テンソルについてまとめたものです。

要点

計量テンソルは、空間の局所ごとの構造を表す。距離と角度の定義を与える。
計量テンソルは、 $g_{ij} du^i \bigotimes du^j$ と表記する。
ここで $g_{ij}$ は計量テンソルの成分であり計量と呼ばれる。 $du^i$ と$du^j$は基底、$\bigotimes$はテンソル積。
計量$g_{ij}$ は、距離に対する各基底の寄与を表す係数である。

ミンコフスキー空間 P333

2点を$A(ct_1,x_1,y_1,z_1),B(ct_2,x_2,y_2,z_2)$とするとき、AB間の距離$s$を2点から作られるベクトル$AB=(ct_2 - ct_1,x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$の大きさを用いて
$s^2=-c^2(t_2-t_1)^2 + (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2 $ と定める。

長さの微小量の２乗$ds^2$を座標の微小量の２次式で表した式を線素 (line element) という。
$ds^2=-c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 $

このように2点間の距離を定めた時空の4次元空間をミンコフスキー空間、
$\eta_{ij}$をミンコフスキー計量という。

{\displaystyle \eta_{ij}={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

ミンコフスキー空間の距離$s$は、内積 $\eta_{ij}a^ib^j$がローレンツ変換$ \Lambda^i_{\ \ j}$で保存される。

$$\displaystyle {s= \int^\beta_\alpha \sqrt {-c^2(\dfrac{dt}{du})^2+{(\dfrac{dx}{du})^2}+{(\dfrac{dy}{du})^2}+{(\dfrac{dz}{du})^2} }\ \ \ d u } $$

テンソル場としての計量テンソル P453

直交座標が入っている平面上の曲線ABの長さ$s$を求める。
$t$を媒介変数とする、曲線$r$
$r(t)=(c^{'1}(t),c^{'2}(t)) \ \ \ \ (\alpha \le t \le \beta))$
$$\displaystyle {s= \int^\beta_\alpha|\dfrac{d r}{d t}| dt= \int^\beta_\alpha \sqrt {{\lbrace \dot c^{'1}(t) \rbrace }^2 + {\lbrace \dot c^{'2}(t) \rbrace }^2} \ \ \ d t } \tag{5.11} $$

曲線$C$の直線座標は
$\boldsymbol x(c^1(t),c^2(t)) = (x^1(c^1(t),c^2(t)),x^2(c^1(t),c^2(t))$
$\dfrac{d \boldsymbol x}{dt}=\dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^1 } \dot c^1(t)+\dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^2 } \dot c^2(t)$
大きさを求めるために、内積をとり

$\displaystyle g_{ij}=\dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^i } \cdot \dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^j }=\sum_k \dfrac{\partial x^k}{\partial u^i } \cdot \dfrac{\partial x^k}{\partial u^j }$ 　　　(0,1) テンソル場の積なので(0,2) テンソル場

\begin{flalign}

  \begin{split}
 \dfrac{d \boldsymbol x}{dt} \cdot \dfrac{d \boldsymbol x}{dt}&= \biggl( \dfrac{\partial  \boldsymbol x}{\partial u^1 } \dot c^1(t)+\dfrac{\partial  \boldsymbol x}{\partial u^2 } \dot c^2(t) \biggr) \cdot   \biggl( \dfrac{\partial  \boldsymbol x}{\partial u^1 } \dot c^1(t)+\dfrac{\partial  \boldsymbol x}{\partial u^2 } \dot c^2(t) \biggr)\\

&=\dfrac{\partial  \boldsymbol x}{\partial u^1 } \cdot \dfrac{\partial  \boldsymbol x}{\partial u^1 }  \dot c^1(t) \dot c^1(t) +
\dfrac{\partial  \boldsymbol x}{\partial u^1 } \cdot \dfrac{\partial  \boldsymbol x}{\partial u^2 }  \dot c^1(t) \dot c^2(t)  \\
&　　+\dfrac{\partial  \boldsymbol x}{\partial u^2 } \cdot \dfrac{\partial  \boldsymbol x}{\partial u^1 }  \dot c^2(t) \dot c^1(t) + 
\dfrac{\partial  \boldsymbol x}{\partial u^2 } \cdot \dfrac{\partial  \boldsymbol x}{\partial u^2 }  \dot c^2(t) \dot c^2(t)\\
&= g_{11} \ \dot c^1(t) \dot c^1(t) + g_{12} \ \dot c^1(t) \dot c^2(t)+ g_{21} \ \dot c^2(t) \dot c^1(t)+ g_{22} \ \dot c^2(t) \dot c^2(t)\\
&=g_{ij} \ \dot c^i(t) \dot c^j(t)
  \end{split} 

\end{flalign}

よって

$$\displaystyle {s= \int^\beta_\alpha|\dfrac{\boldsymbol x}{d t}| dt= \int^\beta_\alpha \sqrt { \dfrac{d \boldsymbol x}{dt} \cdot \dfrac{d \boldsymbol x}{dt}}\ \ \ d t = \int^\beta_\alpha \sqrt {g_{ij}\ \dot c^i(t)\dot c^j(t)} \ \ \ d t } \tag{5.12} $$

計量テンソルの性質

$g_{ij}=g_{ji}　（対称性）$
$g_{jl} A^{ij} _ {\ \ k} =A^{i} _ {\ \ lk}　（添字の上げ下げ）$
$g^{ij} B_{ik}^{\ \ \ \ l} =A^{j\ \ \ l} _ {\ \ k}　（添字の上げ下げ）$

平行移動による計量の不変 P543

曲面上に曲線$C:c(t)$と、$C$に沿って並行なベクトル場$X,Y$がある。
$t=\alpha$でのベクトル$X(C(\alpha)),Y(C(\alpha))$
$t=\beta$でのベクトル$X(C(\beta)),Y(C(\beta))$
計量$g$に関してつぎが成り立つ。
$$g(X(C(\alpha)),Y(C(\alpha))= g(X(C(\beta)),Y(C(\beta)))　　　定理 6.29 $$
並行移動で$X$の大きさ、$X,Y$のなす角度は不変。

$|X|=\sqrt{g(X,X)}=\sqrt{g_{ij}X^i X^j}$
$cos \theta = \dfrac{g(X,Y)}{\sqrt{g(X,X)}{\sqrt{g(Y,Y)}}}$

おわりに

計量$g_{ij}$ は、距離に対する各基底の寄与を表す係数である。
$$\displaystyle {s= \int^\beta_\alpha|\dfrac{\boldsymbol x}{d t}| dt= \int^\beta_\alpha \sqrt { \dfrac{d \boldsymbol x}{dt} \cdot \dfrac{d \boldsymbol x}{dt}}\ \ \ d t = \int^\beta_\alpha \sqrt {g_{ij}\ \dot c^i(t)\dot c^j(t)} \ \ \ d t } \tag{5.12} $$

参考書籍

一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する 2017 石井俊全

参考ウィキペディア（Wikipedia）

https://ja.wikipedia.org/wiki/計量テンソル
 https://ja.wikipedia.org/wiki/計量
 https://ja.wikipedia.org/wiki/距離函数

https://ja.wikipedia.org/wiki/ミンコフスキー空間
 https://ja.wikipedia.org/wiki/シュワルツシルト解
 https://ja.wikipedia.org/wiki/シュワルツシルト解#シュワルツシルト計量
 https://ja.wikipedia.org/wiki/ポワンカレ計量
 https://ja.wikipedia.org/wiki/球面座標系

付録

計量テンソル　（Wikipedia 抜粋）

計量テンソル（metric tensor）とは、空間の局所ごとの構造を表す階数（rank）2のテンソルである。距離と角度の定義を与える。
ひとたびある座標系 $x^i$ が選ばれると、計量テンソルは行列で表される。通常、文字 $G$ があてがわれ、各成分は $g_{ij}$ とされる。$G$は、ユークリッド空間のように平らな領域では単位行列となる。

時刻$t_1$ から $t_2$ までの曲線の長さは、$t$ をパラメータとして、つぎで定義される

$$L=\int_{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}dt\ $$

$g_{ij}$ は、２点間の距離に対する各軸成分の寄与を表す係数である。

このとき2つの接ベクトル（tangent vector）

$U=u^{i}{\partial \over \partial x^{i}}$ と ${\displaystyle V=v^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\ } $のなす角度 $θ$ は、

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}\ }$
で与えられる。

このとき2つの接ベクトル（tangent vector）

 
{\displaystyle U=u^{i}{\partial  \over \partial x^{i}}\ } と 

 
{\displaystyle V=v^{i}{\partial  \over \partial x^{i}}\ } のなす角度 θ は、


 
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}\ }

で与えられる。

ユークリッド計量

2次元直交直線座標系（Cartesian coordinate）

{\displaystyle g=\delta_{ij}={\begin{bmatrix}1&0 \\ 0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}},{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}}}\ }

極座標（Polar coordinates）

{\displaystyle (x^{1},x^{2})=(r,\theta )\ },
{\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}}

円筒座標（Cylindrical coordinates）

{\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)\ },
{\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+(dz)^{2}}

球座標（Spherical coordinates）

{\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,\phi )\ },
{\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}}}

{\displaystyle\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta (d\phi )^{2}}

球面座標（Spherical coordinates）

{\displaystyle (x^{1},x^{2})=(\theta,	\varphi )\ },
{\displaystyle g={\begin{bmatrix}{r^2}&0\\0&{r^2}sin^2\theta \end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=r^2 d\theta^{2}+r^{2}sin^2 \theta d\varphi ^{2}}

時空

ミンコフスキー空間（Minkowski space）

{\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(t,x,y,z)\ }、
{\displaystyle g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

{\displaystyle \quad ds_{}^{2}=-(dt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}