はじめに
こんにちは清水です。
秋葉原ロボット部の理論グループでは、つぎの輪読会をネット上で行っています。
「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」 2017 石井俊全
このなかで、計量テンソル(metric tensor)がでてきます。
本記事は、計量テンソルについてまとめたものです。
要点
- 計量テンソルは、空間の局所ごとの構造を表す。距離と角度の定義を与える。
- 計量テンソルは、 $g_{ij} du^i \bigotimes du^j$ と表記する。
ここで $g_{ij}$ は計量テンソルの成分であり計量と呼ばれる。 $du^i$ と$du^j$は基底、$\bigotimes$はテンソル積。 - 計量$g_{ij}$ は、距離に対する各基底の寄与を表す係数である。
ミンコフスキー空間 P333
2点を$A(ct_1,x_1,y_1,z_1),B(ct_2,x_2,y_2,z_2)$とするとき、AB間の距離$s$を2点から作られるベクトル$AB=(ct_2 - ct_1,x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$の大きさを用いて
$s^2=-c^2(t_2-t_1)^2 + (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2 $ と定める。
長さの微小量の2乗$ds^2$を座標の微小量の2次式で表した式を線素 (line element) という。
$ds^2=-c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 $
このように2点間の距離を定めた時空の4次元空間をミンコフスキー空間、
$\eta_{ij}$をミンコフスキー計量という。
{\displaystyle \eta_{ij}={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}
ミンコフスキー空間の距離$s$は、内積 $\eta_{ij}a^ib^j$がローレンツ変換$ \Lambda^i_{\ \ j}$で保存される。
$$\displaystyle {s= \int^\beta_\alpha \sqrt {-c^2(\dfrac{dt}{du})^2+{(\dfrac{dx}{du})^2}+{(\dfrac{dy}{du})^2}+{(\dfrac{dz}{du})^2} }\ \ \ d u } $$
テンソル場としての計量テンソル P453
直交座標が入っている平面上の曲線ABの長さ$s$を求める。
$t$を媒介変数とする、曲線$r$
$r(t)=(c^{'1}(t),c^{'2}(t)) \ \ \ \ (\alpha \le t \le \beta))$
$$\displaystyle {s= \int^\beta_\alpha|\dfrac{d r}{d t}| dt= \int^\beta_\alpha \sqrt {{\lbrace \dot c^{'1}(t) \rbrace }^2 + {\lbrace \dot c^{'2}(t) \rbrace }^2} \ \ \ d t } \tag{5.11} $$
曲線$C$の直線座標は
$\boldsymbol x(c^1(t),c^2(t)) = (x^1(c^1(t),c^2(t)),x^2(c^1(t),c^2(t))$
$\dfrac{d \boldsymbol x}{dt}=\dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^1 } \dot c^1(t)+\dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^2 } \dot c^2(t)$
大きさを求めるために、内積をとり
$\displaystyle g_{ij}=\dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^i } \cdot \dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^j }=\sum_k \dfrac{\partial x^k}{\partial u^i } \cdot \dfrac{\partial x^k}{\partial u^j }$ (0,1) テンソル場の積なので(0,2) テンソル場
\begin{flalign}
\begin{split}
\dfrac{d \boldsymbol x}{dt} \cdot \dfrac{d \boldsymbol x}{dt}&= \biggl( \dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^1 } \dot c^1(t)+\dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^2 } \dot c^2(t) \biggr) \cdot \biggl( \dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^1 } \dot c^1(t)+\dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^2 } \dot c^2(t) \biggr)\\
&=\dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^1 } \cdot \dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^1 } \dot c^1(t) \dot c^1(t) +
\dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^1 } \cdot \dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^2 } \dot c^1(t) \dot c^2(t) \\
& +\dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^2 } \cdot \dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^1 } \dot c^2(t) \dot c^1(t) +
\dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^2 } \cdot \dfrac{\partial \boldsymbol x}{\partial u^2 } \dot c^2(t) \dot c^2(t)\\
&= g_{11} \ \dot c^1(t) \dot c^1(t) + g_{12} \ \dot c^1(t) \dot c^2(t)+ g_{21} \ \dot c^2(t) \dot c^1(t)+ g_{22} \ \dot c^2(t) \dot c^2(t)\\
&=g_{ij} \ \dot c^i(t) \dot c^j(t)
\end{split}
\end{flalign}
よって
$$\displaystyle {s= \int^\beta_\alpha|\dfrac{\boldsymbol x}{d t}| dt= \int^\beta_\alpha \sqrt { \dfrac{d \boldsymbol x}{dt} \cdot \dfrac{d \boldsymbol x}{dt}}\ \ \ d t = \int^\beta_\alpha \sqrt {g_{ij}\ \dot c^i(t)\dot c^j(t)} \ \ \ d t } \tag{5.12} $$
計量テンソルの性質
- $g_{ij}=g_{ji} (対称性)$
- $g_{jl} A^{ij} _ {\ \ k} =A^{i} _ {\ \ lk} (添字の上げ下げ)$
- $g^{ij} B_{ik}^{\ \ \ \ l} =A^{j\ \ \ l} _ {\ \ k} (添字の上げ下げ)$
平行移動による計量の不変 P543
曲面上に曲線$C:c(t)$と、$C$に沿って並行なベクトル場$X,Y$がある。
$t=\alpha$でのベクトル$X(C(\alpha)),Y(C(\alpha))$
$t=\beta$でのベクトル$X(C(\beta)),Y(C(\beta))$
計量$g$に関してつぎが成り立つ。
$$g(X(C(\alpha)),Y(C(\alpha))= g(X(C(\beta)),Y(C(\beta))) 定理 6.29 $$
並行移動で$X$の大きさ、$X,Y$のなす角度は不変。
$|X|=\sqrt{g(X,X)}=\sqrt{g_{ij}X^i X^j}$
$cos \theta = \dfrac{g(X,Y)}{\sqrt{g(X,X)}{\sqrt{g(Y,Y)}}}$
おわりに
計量$g_{ij}$ は、距離に対する各基底の寄与を表す係数である。
$$\displaystyle {s= \int^\beta_\alpha|\dfrac{\boldsymbol x}{d t}| dt= \int^\beta_\alpha \sqrt { \dfrac{d \boldsymbol x}{dt} \cdot \dfrac{d \boldsymbol x}{dt}}\ \ \ d t = \int^\beta_\alpha \sqrt {g_{ij}\ \dot c^i(t)\dot c^j(t)} \ \ \ d t } \tag{5.12} $$
参考書籍
一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する 2017 石井 俊全
参考 ウィキペディア(Wikipedia)
https://ja.wikipedia.org/wiki/計量テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/計量
https://ja.wikipedia.org/wiki/距離函数
https://ja.wikipedia.org/wiki/ミンコフスキー空間
https://ja.wikipedia.org/wiki/シュワルツシルト解
https://ja.wikipedia.org/wiki/シュワルツシルト解#シュワルツシルト計量
https://ja.wikipedia.org/wiki/ポワンカレ計量
https://ja.wikipedia.org/wiki/球面座標系
付録
計量テンソル (Wikipedia 抜粋)
計量テンソル(metric tensor)とは、空間の局所ごとの構造を表す階数(rank)2のテンソルである。距離と角度の定義を与える。
ひとたびある座標系 $x^i$ が選ばれると、計量テンソルは行列で表される。通常、文字 $G$ があてがわれ、各成分は $g_{ij}$ とされる。$G$は、ユークリッド空間のように平らな領域では単位行列となる。
時刻$t_1$ から $t_2$ までの曲線の長さは、$t$ をパラメータとして、つぎで定義される
$$L=\int_{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}dt\ $$
$g_{ij}$ は、2点間の距離に対する各軸成分の寄与を表す係数である。
このとき2つの接ベクトル(tangent vector)
$U=u^{i}{\partial \over \partial x^{i}}$ と ${\displaystyle V=v^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\ } $のなす角度 $θ$ は、
${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}\ }$
で与えられる。
このとき2つの接ベクトル(tangent vector)
{\displaystyle U=u^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\ } と
{\displaystyle V=v^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\ } のなす角度 θ は、
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}\ }
で与えられる。
ユークリッド計量
2次元直交直線座標系 (Cartesian coordinate)
{\displaystyle g=\delta_{ij}={\begin{bmatrix}1&0 \\ 0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}},{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}}}\ }
極座標(Polar coordinates)
{\displaystyle (x^{1},x^{2})=(r,\theta )\ },
{\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}}
円筒座標(Cylindrical coordinates)
{\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)\ },
{\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+(dz)^{2}}
球座標(Spherical coordinates)
{\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,\phi )\ },
{\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}}}
{\displaystyle\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta (d\phi )^{2}}
球面座標(Spherical coordinates)
{\displaystyle (x^{1},x^{2})=(\theta, \varphi )\ },
{\displaystyle g={\begin{bmatrix}{r^2}&0\\0&{r^2}sin^2\theta \end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=r^2 d\theta^{2}+r^{2}sin^2 \theta d\varphi ^{2}}
時空
ミンコフスキー空間(Minkowski space)
{\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(t,x,y,z)\ }、
{\displaystyle g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}
{\displaystyle \quad ds_{}^{2}=-(dt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}
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