はじめに

こんにちは清水です。
秋葉原ロボット部理論グループにて、「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」読書会を行っています。
本記事は、「第６章曲率」をまとめたものです。

円の曲率 P483

半径$r$の円上の点A、Bをとる。それぞれの接線のなす角を$\alpha$とする。

$\kappa=\displaystyle \lim_{B \to A} \dfrac {\theta_{AB}} {l_{AB}}=\lim_{B \to A} \dfrac {\alpha} {r \alpha}=\dfrac 1 r$

曲線の曲率 P492

曲線$C$が、$(f(t),g(t))$と媒介変数表示されているとする。
接線ベクトルを$p(t)$、単位法線ベクトルを$n$とするとき、
$\dot n(t)=\kappa(t) p(t)$
$\kappa(t)= \dfrac {\dot n(t)} {p(t)}$

ガウス曲率 P499

曲面が$S(u^1,u^2)$で表されているとき、$S(a,b)$での曲率$\kappa(a,b)$は、
$$\kappa(a,b)= \dfrac{n_1(a,b) \times n_2(a,b) }{S_1(a,b) \times S_2(a,b) }\tag{P499 定義6.10} $$

ここで曲面$S(u^1,u^2)$で、

S_i=\dfrac{\partial S(a,b)}{\partial u^i}=\begin{bmatrix}
 \dfrac{\partial x(a,b)}{\partial u^i} \\ \dfrac{\partial y(a,b)}{\partial u^i}\\ \dfrac{\partial z(a,b)}{\partial u^i} 
\end{bmatrix}

単位法線ベクトル$n(u^1,u^2)$で、

n(a,b)=\dfrac{S_1(a,b) \times S_2(a,b)}{|S_1(a,b) \times S_2(a,b)|}

n_i=\dfrac{\partial n(a,b)}{\partial u^i}=\begin{bmatrix}
 \dfrac{\partial x(a,b)}{\partial u^i} \\ \dfrac{\partial y(a,b)}{\partial u^i}\\ \dfrac{\partial z(a,b)}{\partial u^i} 
\end{bmatrix}

ガウス曲率は法線ベクトルを含む平面で曲面を切断したときに現れる曲線の曲率の最大値と最小値をかけたものになる。円柱の場合は曲率の最小値がゼロになり、ガウス曲率はゼロなる。

計量テンソル P454

計量テンソル$g_{ij}$
$$g_{ij}= \dfrac{\partial \boldsymbol { x}}{\partial u^i } \cdot \dfrac{\partial \boldsymbol { x}}{\partial u^j }= \sum_k \dfrac{\partial {x^k}}{\partial u^i } \dfrac{\partial {x^k}}{\partial u^j }\tag{P454 } $$

曲線$AB$の長さ$s$は
$$s=\int^\beta_\alpha|\dfrac{d x}{dt}|dt=\int^\beta_\alpha \sqrt{ g_{ij} \ \dot c^i(t) \ \dot c^j(t)} \ \ dt \tag{P454 } $$

$g^{ij}$は計量テンソル$g_{ij}$の逆行列、添字の上げ下げに使える（P458）
計量テンソル$g_{ij}$と逆行列$g^{ij}$は、それぞれ(0,2)テンソル場と(2,0)テンソル場（P455）
共編微分と計量テンソル P461
$$\nabla_k g_{ij}= 0= \dfrac{\partial g_{ij} }{\partial u^k}-\Gamma^l_{\ ki}g_{ij} -\Gamma^l_{\ kj} g_{il}\tag{P461 定理5.17} $$
$$\nabla_k g^{ij}= 0\tag{P461 定理5.17} $$

曲面の曲率（ガウス曲率、全曲率） P500

曲面$S(u^1,u^2)$の曲率$\kappa(u^1,u^2)$は、$g_{ij}=S_1 \cdot S_2$、$h_{ij}=n \cdot S_{ij}$とおくと、
$$\kappa(u^1,u^2)= \dfrac{h_{11}h_{22}-h_{21}h_{12}} {g_{11}g_{22}-g_{21}g_{12}}\tag{P500 定理6.11} $$

接続係数 P431

接続係数$\Gamma^i_{\ jk}$の定義、クリストッフェル記号（P431）
$$\dfrac{\partial^2 \boldsymbol { x} }{\partial u^j \partial u^k}=\Gamma^i_{\ jk}\dfrac{\partial \boldsymbol { x} }{\partial u^i } \tag{P431} $$

$$\dfrac{\partial^2 {x^l} }{\partial u^j \partial u^k}=\Gamma^i_{\ jk}\dfrac{\partial {x^l}}{\partial u^i } \tag{P431} $$
直線座標と直線座標の接続係数はつねに$0$になる。

$$\dfrac{\partial^2 \boldsymbol { x} }{\partial u^j \partial u^k}=0 \tag{P434} $$

接続係数を計量テンソルで表す

$$\Gamma^m_{\ ik}=\dfrac{1}{2} g^{jm} (\dfrac{\partial {g_{ij}}}{\partial u^k }+ \dfrac{\partial {g_{jk}}}{\partial u^i }+\dfrac{\partial {g_{ki}}}{\partial u^j }) \tag{P461 公式5.16} $$

リーマン曲率 P510

リーマン曲率（リーマンの曲率テンソル） $R^i_{\ jkl}$ の定義

\begin{flalign}
R^i_{\ jkl}=\dfrac{\partial \Gamma^i_{\ lj} }{\partial u^k} - 
\dfrac{\partial \Gamma^i_{\ kj} }{\partial u^l} + \Gamma^i_{\ kn}\Gamma^n_{\ lj}- \Gamma^i_{\ ln}\Gamma^n_{\ kj}   \tag{P510  6.06、定義6.17} 
\end{flalign}

$$R^i_{\ jkl}= g^{mi}(h_{lj}h_{km} - h_{kj}h_{lm}) \tag{P510 } $$

\begin{align}
  R_{ijkl}&= g_{in} g^{mi}(h_{lj}h_{km} - h_{kj}h_{lm})   \\
          &= \delta(h_{lj}h_{km} - h_{kj}h_{lm}) \\
          &= h_{lj}h_{km} - h_{kj}h_{lm} \\
          &= (\boldsymbol n_l \cdot \boldsymbol S_j)(\boldsymbol n_k \cdot \boldsymbol S_i) - (\boldsymbol n_k \cdot \boldsymbol S_j) (\boldsymbol n_l \cdot \boldsymbol S_i)  \tag{P516}
\end{align}

n=2の時、 $ =(\boldsymbol n_l \times \boldsymbol n_k) \cdot (\boldsymbol S_j\times\boldsymbol S_i)$

曲面$S(u^1,u^2)$の曲率$\kappa(u^1,u^2)$は、$g_{ij}=S_1 \cdot S_2$、$h_{ij}=n \cdot S_{ij}$とおくと、
$$\kappa(u^1,u^2)= \dfrac{h_{11}h_{22}-h_{21}h_{12}} {g_{11}g_{22}-g_{21}g_{12}} = \dfrac{R_{2121}} {g_{11}g_{22}-g_{21}g_{12}}\tag{P511 } $$

最初の等式はガウス曲率（P500）、ここで

$R_{2121}= g_{21}R^1_{\ 121} + g_{22}R^2_{\ 121}={h_{11}h_{22}-h_{21}h_{12}} $

リッチ曲率、スカラー曲率 P530

$$リッチ曲率　　　R_{ij}=R^k_{\ ikj}=g^{kl}R^l_{\ ikj}=-g^{kl} R_{lijk}=-R^k_{\ ijk}\tag{P530} $$
$$スカラー曲率　　　R=g^{ij}R_{ij}=R^i_{\ i}=g^{ij}R^k_{\ ikj}=g^{ij}g^{kl}R_{likj} \tag{P530} $$

共変微分 P448

共変微分$\nabla_i$の定義（P448）　　（ベクトル微分演算$\nabla$（P60））
$f$が(0,0)テンソル場　$\nabla_i f= \dfrac{\partial f }{\partial u^i}$

$A^i$が(1,0)テンソル場　$\nabla_j A^i= \dfrac{\partial A^i }{\partial u^j}+\Gamma^i_{\ jk} A^k$

$A_i$が(0,1)テンソル場　$\nabla_j A_i= \dfrac{\partial A_i }{\partial u^j}-\Gamma^k_{\ ji} A_k$

$A_i$が(0,2)テンソル場　$\nabla_k A_{ij}= \dfrac{\partial A_{ij} }{\partial u^k}-\Gamma^l_{\ ki} A_{ij} -\Gamma^l_{\ kj} A_{il}$

$A^i_{\ j}$が(1,1)テンソル場　$\nabla_k A^i_{\ j}= \dfrac{\partial A^i_{\ j} }{\partial u^k}+\Gamma^i_{\ kl} A^l_{\ j}-\Gamma^l_{\ kj} A^i_{\ l}$

$$(\nabla_k \nabla_l - \nabla_l \nabla_k) A^i = R^i_{\ jkl}A^j \tag{P520 }\ \ は(1,2)テンソル場$$

任意の$(1,0)$テンソル場$A^i$に対して、$R^i_{\ jkl}A^j$ は$(1,2)$テンソル場になるので、定理3.32(テンソルの商法則 P255)により、$R^i_{\ jkl}$ は $(1,3)$テンソル場になる。

$$(\nabla_k \nabla_l - \nabla_l \nabla_k) f = 0 \tag{P523 } $$
$$(\nabla_k \nabla_l - \nabla_l \nabla_k) A^i_{\ j} = R^i_{\ mkl}A^m_{\ j} - R^m_{\ jkl}A^i_{\ m}\tag{P523 } $$

共変微分と平行移動 P554

\begin{align}
\lim_{h\to 0} \dfrac{A^j_{\parallel}(u^i + h)-A^j(u^i)}{h} &=\lim_{h\to 0} \dfrac{A^j(u^i + h)+ \Gamma^j_{\ ik}A^k h-A^j(u^i)}{h} \\
&=\dfrac{\partial A^j}{\partial u^i} +\Gamma^j_{\ ik}A^k
\end{align}

ベクトル場$A(u)$を$u^i$軸、すなわち第$i$座標の座標軸の曲線$C:c(t)(0,\cdots,t,\cdots,0)$に沿って共編微分すると

(\nabla_l A^j)\dot c^l(t)=(\dfrac{\partial A^j}{\partial u^l}+ \Gamma^j_{\ lk}A^k)\delta^i_{\ i}=\dfrac{\partial A^j}{\partial u^i}+ \Gamma^j_{\ ik}A^k

参考 Wikipedia 曲率関連

https://ja.wikipedia.org/wiki/曲率
 https://ja.wikipedia.org/wiki/ガウス曲率
 https://ja.wikipedia.org/wiki/リーマン曲率テンソル
 https://ja.wikipedia.org/wiki/部分リーマン多様体の接続と曲率
 https://ja.wikipedia.org/wiki/リッチテンソル
 https://ja.wikipedia.org/wiki/スカラー曲率

参考 Wikipedia

https://ja.wikipedia.org/wiki/ヤコビ恒等式
 https://ja.wikipedia.org/wiki/クリストッフェル記号
 https://ja.wikipedia.org/wiki/リーマン幾何学