投球の力学の基礎(2) -ボールに作用する力と力の作用線：剛体の回転の力学-

はじめに

ここでは，まずストレートボール（ファストボール）を例として，ボールの回転制御のメカニズムの基礎を考える．

前章：(1) 「ボールに作用する力とボールの挙動：質点の力学」では，回転の運動学（姿勢や角速度）と並進の力学について述べた．ここでは，剛体としてのボールの回転力学の基礎を述べる．

ボールを形のある物体（球体とみなしてよいだろう）として剛体の力学を考えると，ボールには並進の力と，回転を与えるトルクが作用する．この力とトルクは，前章で示したようにボールにモーションキャプチャ用の反射マーカを貼付し，ボールの重心（または中心）と姿勢（回転行列）を同定すると，計算することができる．

今回の記事では，その力とトルクから計算可能な（計算方法はまたどこかで述べる）力の作用点を導入し，ボールの挙動の物理的意味を理解するための基本事項を整理する．

復習

図１：復習．投球中のボールの回転挙動の推移．約130km/hのファストボールの例．

前章で述べたように，投球開始からしばらくの間，ボールの角速度を観察すると，小さい角速度（回転速度）でのトップスピンの回転を行っている．ただし，ボールに対して手でトップスピンをかけているというよりも，ボールを手で握っているため手とボールが「一体化」し，ただ腕の回転が反映されているだけだ．

そして，リリースの約15msぐらい前に，ボールの回転がトップスピンからバックスピンに切り替わる．恐らくこのときぐらいに，母指がボールから離脱し始める．この離脱が能動的に「離す」のか，受動的に「離れる」かの違いはかなり重要だが，結論はこのシリーズの後半で述べる．

このボールに対してバックスピンを与えるトルクは，スピン開始からさらに約5msほどさかのぼった時刻に与えられ始める．前向きに回転している勢いがようやく止まってバックスピンを開始する．つまり，バックスピンを起こすトルクはまず「トップスピンの回転の勢いを止める」ために使われ，スピン開始前から与える必要がある．このトルクを与え始めるタイミングを，ここでは動力学的回転開始と呼び，そこからリリースまでの時間を回転制御フェーズと呼ぶ．

バックスピンの回転力は，バックスピン開始前から与えていることに注意していただきたい．

ボールの回転力学の基礎

トルクと力のモーメント

図２：ボールに作用する力がトルクを発生
(a)ボールの中心からそれた力がボールを回転させる．
(b)中心から見た接触点の位置ベクトルをとrすると，ボールに作用するトルクの大きさは，
ベクトルrとベクトルfが作る平行四辺形の面積で定まる．
(b)のように，紙面の奥に向かっていくベクトルはプラスネジの頭側から見たxで示す．
ここでは示していないが，反対向きの回転軸は先端側から見た　⦿　で示す．

ボールには力$\boldsymbol{f}$が作用するが，その力はボールを回転させる力を生み出す（図２）．そのボールを回転させる力がトルクである．そのトルクはいろいろな方法で与えることができるが，ストレートでは主に指先とボール間に作用する力で，ボールにトルクを与える．

もし，力$\boldsymbol{f}$がボールのある点$\boldsymbol{r}$に作用し，その力が「ボールの中心方向」を向いている場合，回転は発生しない．力$\boldsymbol{f}$がボールの中心からそれた方向に作用することで，回転力が発生する（図２(b)）．そしてそれが中心より下向きならバックスピンを起こす．カーブなどのトップスピンの場合は，上側にそれる必要がある．ここでベクトル$\boldsymbol{r}$はテコに相当し，その矢印の点は力の作用点である．

この力の作用点（テコ）$\boldsymbol{r}$と力ベクトル$\boldsymbol{f}$の二つで計算するトルクを力のモーメントと呼ぶ．

なお，投球の際には，ボールと指間は面接触である．したがって力ベクトルは無数の力がボール表面に作用していると考えて良い．ここでは，その無数の「力の総和」を一つの代表する力として扱う．そしてその力の代表値が作用する点を力の作用点と呼ぶ．これは，フォースプレートの力学で述べたCOPと似ているが，圧力中心とは物理的意味が異なるので，そのことは別途述べる．

トルク（回転力）もベクトル

前章で回転速度（角速度ベクトル）を矢印のベクトルで示したように，トルクもベクトルによる軸回転で表現する．

図３：トルクも右ネジ表現を行う．

回転の軸方向

矢印を右ネジにみたて，そのねじの回転する方向が回転の方向となる．ベクトルの軸がネジの進行方向である（図３）．

回転力の大きさ

その回転力を表すベクトルの大きさはベクトルの長さで表現し，力のモーメントの場合はさらに図２(b)に示したように幾何学的な表示が可能で，力の作用点を示すベクトル$\boldsymbol{r}$と，力ベクトル$\boldsymbol{f}$が形成する平行四辺形の面積で表される．

これで力のモーメントの軸方向と大きさが定まる．

繰り返しになるが，このように力の作用点（テコ）のベクトル$\boldsymbol{r}$と，力ベクトル$\boldsymbol{f}$で作り出すトルクを力のモーメントと呼ぶ．トルクも力のモーメントも同じ回転力で単位も同じであるが，ここでは図２(b)のような力が回転力を作っていると書き表されるものを力のモーメントと呼ぶ．力のモーメントで記述できないトルクしては，モーターで与えるトルクなどがある．もともとは，力のモーメントの足し合わせのようなものであるが，もはや一つの力のモーメントでは記述でないので，このような回転力はトルクと呼ぶ．トルクと力のモーメントはどちらも回転力だが，力のモーメントはテコと力を使って表現を行う特別なトルクと考えれば良い（図４）．

図４：テコによる力のモーメントのイメージ

なお，数学では力のモーメントはベクトルの外積$\times$を使って
$$\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{f}$$
と記述する．

図５：外積a x bの幾何学的意味

外積や力のモーメントなどの詳細はnote記事を参照されたい．

ボールに与える二つのトルク

前章では，力学ではあまり馴染みのない方法であったが，ボールに作用する力を投球方向に作用する力と向心力に分解した．

ここでも，ボールのダイナミクスを考える場合に，ボールに作用するトルク（回転力）を，物理的に意味のある二つのトルクに分解する．３次元でボールの挙動を力学で解析する場合，この概念は非常に重要だ．

ボールに作用する力が生成する力のモーメント

すでに説明したが，ストレートの場合，指先などで与える力が形成する力のモーメント（図２参照）が，ほぼボールの回転力を支配する．

ボールと指間が１つの点接触の場合，図２で示した，$\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{f}$しか作用しない．しかし，母指と示指で把持（ピンチング）したり，１つの指先で接触していても，面接触する場合は，次のもう一つのモーメントが発生する．

ねじりモーメント

ボールの表面と指が面接触する場合，接触している領域には無数の力が作用する．そのうち，平面に接する方向の力だけをピックアップしたのが，図６のオレンジ色のベクトルである．つまり力の作用点で球体に接する接平面を考える．このベクトルがもし図６のように渦を巻いているように分布すると，総和として黒色の矢印で示したねじりモーメントが発生する．

投球では指先などで面接触が行われるため，さらにボールには，このねじりモーメント，つまり力の軸まわりの回転力（トルク）が小さいときもあるが必ず作用する．

図６：ボール表面に作用するねじりモーメント

少しイメージしにくいかもしれないが，次に球体に接する接平面ではなく，力ベクトル$\boldsymbol{f}$が作用する軸に対して垂直な平面に投影することを考える（図７）．表面の接平面と，この新たな平面の向き（法線方向）は異なるので注意されたい．

図７：力ベクトルに垂直な平面に作用するねじりモーメント
平面は球体の表面に接していない．一部はボール内部に食い込んでいる．

指はそのような面と接触することはないが，ボール表面に接する力分布をこの面に投影していると考えれば良い．すると図７の投影面におけるオレンジ色の破線の力たちは，図６と同様に青色の矢印（軸の向きは力$\boldsymbol{f}$と同じ向き）まわりのモーメントを発生する．これを，ここでは，力ベクトル$\boldsymbol{f}$まわりのねじりモーメントと呼ぶ（後日，適切な名称に変更するかもしれない）．

前章で力を投球方向に作用する力と向心力に分解し，その意味について述べたが，ここでも，ボールに作用するトルクは，ボールに作用する力がつくる力のモーメントとその力ベクトルと平行なねじりモーメントの２つに分解できることを示した．

なお，重要なことを付け加えるならば，ボールに作用するトルクは，点接触を行わない限り，力のモーメント$\boldsymbol{n}_f$だけでは記述できず，それに直交する$\boldsymbol{n}_t$も必要となることに注意されたい．

各ベクトル間の幾何学関係

ここであらためて，登場したいくつのベクトルに名前を与えて整理する．

図８：(a)ボールに作用する力fがつくる力のモーメントnf．(b)摩擦などによって作られる力のモーメントnt
ボールに作用する力が作るモーメントnfは，力ベクトルと直交する．さらにその力のモーメントnfと摩擦が
作るモーメントnmは直交する．結果，ボールに作用する力fと摩擦nmが作るモーメントは平行となる

1. 力ベクトル$\boldsymbol{f}$
2. $\boldsymbol{f}$が作る力のモーメント$\boldsymbol{n}_f$
3. ねじりモーメント$\boldsymbol{n}_t$

である．また，

１．力ベクトル$\boldsymbol{f}$と，それが作る力のモーメント$\boldsymbol{n}_f$は，外積の性質（図２，４）を考えれば，それらは直交することがわかる．

２．ボールに作用する力で作り出すモーメントベクトル$\boldsymbol{n}_f$と，ねじりモーメント$\boldsymbol{n}_t$のベクトルも直交する．直交するように分解したと述べたほうが良いかもしれない．

３．さらに，力ベクトル$\boldsymbol{f}$とねじりモーメントベクトル$\boldsymbol{n}_t$は平行，つまり同じ方向を向いていることがわかる．つまり，

1. $\boldsymbol{f} \perp \boldsymbol{n}_f$
2. $\boldsymbol{n}_f \perp \boldsymbol{n}_t$
3. $\boldsymbol{f} \parallel \boldsymbol{n}_t$

とかける．

なお，この分解の仕方は，フォースプレートの力学の床反力が作るモーメントと摩擦によるモーメント（フリーモーメント）と似ている．しかし，これは作用する力の圧力中心ではないので，注意されたい．

COPは図６のように球面の接平面の法線方向に作用する力の重心（圧力中心）位置で，力の作用点は図７のように力ベクトルに作用する力の代表点であって（その重心かどうかは確認中），物理的意味が異なる．どちらも力の代表値だが，考えている座標系が異なり，力の作用点の導出方法はCOPと異なり，結果も微妙に異なる．

カーブの場合

ストレートの場合，指先で力$\boldsymbol{f}$がボールを押しながらボールを回すモーメント$\boldsymbol{n}_f$は大きいが，それと比して指先でボールを図２(b)の$\boldsymbol{n}_t$の軸まわりに摩擦力で回そうとするモーメントは小さい．

一方，カーブの場合，母指と示指でピンチングすることで，大きな$\boldsymbol{n}_m$を作ることができる．

おわりに

ここでは，ボールに作用するトルクを，力の作用点（テコ）を導入することで，ボールに作用する力$\boldsymbol{f}$によって回転するモーメント$\boldsymbol{n}_f$と，それに直交するねじれモーメント$\boldsymbol{n}_t$とに分解した．

このような分解は，力の作用点を導入することで可能になる．ロボットなど制御ではその力の作用点を計測し解析することはあまりないだろう．今後，力が作用するその代表点として力の作用点を導入することで，さらにボールの回転のダイナミクスがより詳しく理解できることを示し，３次元空間における実際の投球時のボールの力の作用点の計算方法についても述べていく予定である．