ミニマル模型のモジュラー変換

共形場理論のモジュラー不変性：一般の場合

トーラス上の共形場理論

いま、種数1の2次元トーラスの上に共形場理論を定義することを考えます。種数1のトーラスは、2次元格子の縦方向と横方向の両方に周期性$(x_1, x_2) = (x_1 + \omega_1, x_2 + \omega_2)$を課したものとみなせます。

トーラス上の理論の分配関数は、このトーラスを両端の同一視されたシリンダー($x_1$方向を周期的にとったもの)と見た時に、シリンダーの軸と平行な方向($x_2$方向)への並進を1周期$\omega_2$分だけ行い、はじめと終わりを一致させたものとなります。これは、$x_2$方向のトレース
$$Z(\omega_1, \omega_2) = \mathrm{Tr}\left[\exp^{-\lbrace H(\mathrm{Im} \omega_2) - iP(\mathrm{Re}\omega_2)\rbrace}\right]$$
として与えられます。ここで、$H=\frac{2\pi}{\omega_1}\left(L_0 + \bar{L}_0 - \frac{c}{12}\right)$は時間方向の並進演算子、$P=\frac{2\pi i}{\omega_1}(L_0-\bar{L}_0)$は空間方向の並進演算子です(動径量子化のもとでは、時間発展は動径方向のスケール変換に、空間並進は角度方向の回転に対応します)。この分配関数は、$\tau = \omega_2/\omega_1$のみの関数として
$$Z(\tau) = \mathrm{Tr}\left[q^{L_0-c/24}\bar{q}^{\bar{L}_0-c/24}\right], ~~q=e^{2\pi i \tau},~ \bar{q} = e^{-2\pi i \bar{\tau}}$$
と書かれます。

モジュラー変換

理論がモジュラー不変であるとは、上の分配関数$Z(\tau)$が、変換
$$\mathcal{T}: \tau \mapsto \tau +1, ~~\mathcal{S}: \tau \mapsto -\frac{1}{\tau}$$
のもとで不変に保たれることを言います。これは、同じトーラスを与えるような周期の取り替え
$$\begin{pmatrix}
\omega_1' \\
\omega_2' \
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_1 \\
\omega_2 \
\end{pmatrix}, ~~
a,b,c,d\in \mathbb{Z}, ~ad-bc=1
$$
のなす群$SL(2, \mathbb{Z})$を生成する2つの変換を表しています。
この2つの変換$\mathcal{T}, \mathcal{S}$によって生成される変換を図示すると次のようになります。

モジュラー不変な理論は、何らかの意味でこのモジュラー群の表現になっていると解釈できます。

モジュラー不変性: ミニマル模型の場合

ミニマル模型(復習)

中心電荷が$c$の時、Virasoro代数の表現空間として、正則・反正則部分に対する最高ウェイト表現(Verma加群)を適当なやり方で組み合わせたもの
$$\mathcal{H} = \bigoplus_{h, \bar{h}}\mathcal{M}_{h,\bar{h}}\mathcal{V}(c,h)\otimes \bar{\mathcal{V}}(c, \bar{h})$$
を取ることができます(係数$\mathcal{M}_{h,\bar{h}}$は非負整数)。ミニマル模型とは、中心電荷が2つの互いに素な自然数の組$(p, p')$を用いて$c(p.p')=1-6(p-p')^2/pp'$と書ける場合に、最高ウェイトが
$$h_{r,s}(p.p') = \frac{(p'r-ps)^2 - (p-p')^2}{4pp'}~(1\leq r<p', ~1\leq s<p)$$
の形で与えられるような有限個のVerma加群の組み合わせからなる理論のことを指します(詳しくは前の記事などを参照)。状態空間は一般に
$$\mathcal{H}_{p.p'}=\bigoplus_{(h_{r,s},~h_{t,u})}\mathcal{M}_{rs, tu}M(c, h_{r,s})\otimes \bar{M}(c, \bar{h}_{t,u})$$
の形で書けます$(c(p,p')$や$h_{r,s}(p.p')$を略記$)$。ここで、$M(c,h_{r,s})$はVerma加群$V(c,h_{r,s})$に登場する特異ベクトルをすべて取り除いて作られるVirasoro代数の既約表現空間を表します：
$$M(c, h_{r,s})= V(c,h_{r,s})/[V(c,h_{p'+r,p-s})\oplus V(c,h_{r,2p-s})]. $$
このような状態空間は、演算子の描像では共形次元$(h_{r,s}, \bar{h}_{t,u})$を持つprimary場が$\mathcal{M}_{rs;tu}$種類存在していて、それらとそのdescendantたちによって作られる線型空間から特異ベクトルを除いたものを、すべてのprimary場に対して用意して組み合わせたもの、となっています。
このヒルベルト空間のもとで、先に与えたトーラス上の分配関数は

$$Z(\tau) = \mathrm{Tr}_{\mathcal{H}}\left[q^{L_0-c/24}\bar{q}^{\bar{L}_0-c/24}\right]
=\sum_{(r,s)(t,u)}\mathcal{M}_{rs; tu}
\chi_{r,s}(\tau)
\bar\chi_{t,u}(\bar{\tau})$$
と書けます。ただし、$\chi_{r,s}(\tau)$はVirasoro代数の既約表現$M(c,h_{r,s})$の指標
$$\chi_{r,s}: \mathrm{Vir}\to U(1), ~~
\chi_{r,s}(\tau) = \mathrm{Tr}_{M(c,h_{r,s})}[q^{L_0-\frac{c}{24}}]$$
です。これは、Virasoro代数を(可算)無限次元のリー代数として見た時に、そこから指数写像$\exp$で定義される群$\mathrm{Vir}$¹の$\tau$でパラメタ付けられた元$q^{L_0-\frac{c}{24}}$に対して$U(1)$値を返す対応、という意味で、通常の群の表現論における指標の概念と対応しています。トレースは$M(c,h_{r,s})$を線型空間として見た時の通常の意味でのトレースです。

トーラス上のミニマル模型がモジュラー不変であることは、この形の分配関数が変換$\mathcal{T}: \tau \to \tau + 1$, $\mathcal{S}: \tau \to -1/\tau$の元で不変になることです。

既約表現の指標のモジュラー変換

モジュラー変換$\mathcal{T}$および$\mathcal{S}$のもとでは一般に指標は不変ではありませんが、理論に登場する共形族の数が有限の場合、その変換性は行列の形で与えられます。ミニマル模型$\mathcal{M}(p,p')$の場合、それぞれ
$$\chi_{r,s}(\tau + 1)=\sum_{(\rho, \sigma)}\mathcal{T}_{rs; \rho\sigma}\chi_{\rho, \sigma}(\tau), ~
\mathcal{T}_{rs; \rho\sigma}=\delta_{r,\rho}\delta_{s,\sigma}e^{2i\pi(h_{r,s}-c/24)}$$
$$\chi_{r,s}(-1/\tau)=\sum_{(\rho, \sigma)}\mathcal{S}_{rs; \rho\sigma}\chi_{\rho, \sigma}(\tau), ~~
\mathcal{S}_{rs; \rho\sigma}=2\sqrt{\frac{2}{pp'}}(-1)^{1+s\rho + r\sigma}\sin\left(\pi \frac{p}{p'}r\rho\right)
\sin\left(\pi \frac{p'}{p}s\sigma\right)$$
と書けます(導出は参考文献[1]の10.6節が詳しい)。これは、Virasoro代数(の正則・反正則部分それぞれ)の既約表現の指標たちのなす線型空間がモジュラー群のユニタリ表現の表現を与えているとみることができます。行列$\mathcal{T}, \mathcal{S}$はその上の表現行列です。
指標のモジュラー変換性が与えられると、分配関数に対するモジュラー不変性から導かれる性質をexplicitに見て取ることができます。例えば、$\mathcal{T}$に対しては
$$Z(\tau + 1) =
\sum_{(r,s)(t,u)}\mathcal{M}_{rs; tu}
\chi_{r,s}(\tau+1)
\bar\chi_{t,u}(\bar{\tau}+1)
=\sum_{(r,s)(t,u)}\mathcal{M}_{rs; tu}
\left(\sum_{(\rho, \sigma)}\mathcal{T}_{rs;\rho\sigma}\chi_{\rho,\sigma}(\tau)\right)
\left(\sum_{(\lambda, \mu)}\mathcal{T}_{tu;\lambda\mu}\chi_{\lambda,\mu}(\bar{\tau})\right)
=\sum_{(r,s)(t,u)(\rho, \sigma)(t,u)}\left(\mathcal{T}^{-1}_{\rho\sigma; rs}\mathcal{M}_{rs; tu}\mathcal{T}_{tu;\lambda\mu}\right)\chi_{\rho, \sigma}(\tau)\chi_{\lambda, \mu}(\bar{\tau})
=\sum_{(\rho, \sigma)(\lambda, \mu)}(\mathcal{T}^{-1}\mathcal{M}\mathcal{T})_{\rho\sigma; \lambda\mu}\chi_{\rho, \sigma}(\tau)\chi_{\lambda, \mu}(\bar{\tau})
$$
より、$\mathcal{T}^{-1}\mathcal{M}\mathcal{T} = \mathcal{M}$の時、つまり$\mathcal{M}$が$\mathcal{T}$と可換な時、$Z(\tau + 1) = Z(\tau)$となります。同様にして、この非負整数行列$\mathcal{M}$は$\mathcal{S}$とも可換な行列でなければならないとわかります。ここで、ミニマル模型における$\mathcal{T}$および$\mathcal{S}$の直交性を使いました。

このように、ミニマル模型の状態空間の構造を指定する$\mathcal{M}$は、「モジュラー群の2つの生成子$\mathcal{T}, \mathcal{S}$の表現行列と可換になる行列」という数学的な性質を持つ行列になります。
モジュラー不変なミニマル模型を分類するとはこのような$\mathcal{M}$たちの分類を与えることに他なりませんが、その分類結果は、面白いことに、単純リー代数の中の$A, D, E$と呼ばれるクラスのものと対応づけられます(ADE分類と呼ばれます)。ここではこの話はこれ以上は踏み込み(め)ませんが、一言で言うと、上の条件を満たす非負係数行列$\mathcal{M}$(従って正定値かつ非退化な行列)が、$A, D, E$のクラスの単純リー代数のDynkinダイヤグラムに対する接続行列(グラフ理論的に定義できる行列)と対応づけられるという結果があります。
詳しくは、[1]およびDynkin図形に対するPerron-Frobeniusの定理に関する適当な文献をご参照ください。僕は何も知りません。

Verlinde formula: モジュラー変換とfusionの関係

トーラス上のCFTにおけるモジュラー$\mathcal{S}$変換は、異なるVerma加群のcharacterどうしを結びつける働きをしています。一方で、「異なる共形族の場どうしをOPEさせると何が出てくるか?」という関係を表します。異なる共形族同士を結びつけるこの一見して全く別物な2つのやり方には、実は明確な対応関係があります。これは次の公式(Verlinde formula)の形にまとめられます：
$$\mathcal{N}_{ab}^{~c} = \sum_{d}\frac{\mathcal{S}_{ad}\mathcal{S}_{bd}\mathcal{S}_{dc}}{\mathcal{S}_{0d}}. $$
ここで$a,b,c,d$は共形族のラベルであり、ミニマル模型の場合はしばしばKac index$(r,s)$に置き換えられます(以降はしばしばそのようにします)。
ミニマル模型の場合、$\mathcal{S}$行列は模型を定める2つの互いに素な自然数の組$(p, p')$から系統的に与えられるので、これは「理論のoperator contentの詳細を知らなくても、モジュラー変換性からfusion algebraの形が決められる」という非常に強力で非自明な関係式になっています。

fusion rule

ここで、少しfusion ruleの復習をします。2つの場同士のOPEを
$$\phi_{h_a}(z)\phi_{h_b}(w) = \sum_{h_p}(z-w)^{h_p-h_a-h_b}g(h_a, h_b, h_p)\sum_{Y}(z-w)^{|Y|}\beta_{Y}(h_a, h_b, h_p)L_{-Y}\phi_{h_p}(w)$$
のように書く時、「どの3つ組に対してOPE係数$g(h_a, h_b, h_p)$が0じゃなくなるか？」を記述するのがfusion ruleです。このOPE係数は3点関数の係数であり、特異ベクトルの考察から得られる3点関数に対する微分方程式が非ゼロな解を持てる場合に係数は0でなくなります。
OPE係数が0か0でないかのみに着目し、
$$
\mathcal{N}_{ij}^k=\Bigg \lbrace
\begin{array}
~0 & g(h_i, h_j, h_k)=0 \\
1 & \mathrm{otherwise} \
\end{array}
$$
としてfusion numberを定義した時、fusion ruleはこの$\mathcal{N}$を用いてsymbolicに
$$\phi_i \times \phi_j = \sum_k \mathcal{N}_{ij}^{k} \phi_k $$
と書けます。このfusion numberを成分として行列$N_i$を$[N_i]_{j}^{~k} = \mathcal{N}_{ij}^k$で定義すると(fusion matrix)、fusion ruleは行列の関係式
$$N_i N_j = \sum_{k}\mathcal{N}_{ij}^k N_k$$
として再解釈できます。この行列は、fusion ruleの代数構造を表現したもの²と考えられます。この行列は全ての成分が非負整数であり、Frobenius-Perron次元を定義することができます(共形族あるいはprimary場に対応するfusion行列のFP次元は、トポロジカル秩序の文脈では量子次元と呼ばれる量になります)。

fusion numberには次のような性質があります。

fusion numberの性質
(i) $\mathcal{N}_{il}^k = \delta_{i,k}$ (identityとのfusionは自身)
(ii) $\mathcal{N}_{ij}^k = \mathcal{N}_{ji}^k$ (OPEの可換性)
(iii) fusion matrix同士は互いに可換: $N_{i}N_j = N_j N_i$
これは、OPEの結合律から直ちに導かれます。
$\phi_i \times (\phi_j\times\phi_k)=\phi_i\times \sum_l \mathcal{N}_{jk}^l\phi_{l}=\sum_{l,m}\mathcal{N}_{jk}^l\mathcal{N}_{il}^m\phi_m, ~~(\phi_i \times \phi_j)\times\phi_k=\sum_l \mathcal{N}_{ij}^l\phi_{l}\times \phi_k=\sum_{l,m}\mathcal{N}_{ij}^l\mathcal{N}_{lk}^m\phi_m $$\therefore \sum_l\mathcal{N}_{jk}^l\mathcal{N}_{il}^m = \sum_l \mathcal{N}_{ij}^l\mathcal{N}_{lk}^m$

Verlinde公式の導出

(i)fusion行列の固有方程式として

共形族どうしのfusion ruleの中で、共形次元$h_{2,1}$および$h_{1,2}$を持つ族は特別な役割を担います：
$$\phi_{(2,1)}\times \phi_{(r,s)} = \phi_{(r+1,s)} + \phi_{(r-1,s)}, $$
$$\phi_{(1,2)}\times \phi_{(r,s)} = \phi_{(r,s-1)} + \phi_{(r,s+1)}. $$
これは、$\phi_{(2,1)}$および$\phi_{(1,2)}$がfusion代数の中で"ladder operator"(昇降演算子)のように振る舞うと解釈できます。
fusion ruleはfusion matrixの代数関係として表現できることを思い出すと、上の関係は「ミニマル模型のfusion matrixは、$N_{(2,1)}$と$N_{(1,2)}$の繰り返し作用により(多項式的に)得られる」ということを表します。実際、次が成り立ちます。

$X=N_{(2,1)}, Y=N_{(1,2)}$とすると、
$$N_{(r,s)} = U_{r-1}(X)U_{s-1}(Y)$$
ただし、$U_m$は次で定義されるChebyshev多項式：
$$U_m(2\cos\theta) = \frac{\sin(m+1)\theta}{\sin\theta}, ~~U_m(x)=xU_{m-1}(x)+U_{m-2}(x)$$

ゆえ、たとえば、$X=N_{(2,1)}$と$Y=N_{(1,2)}$の両方を同時に対角化する行列があると、それはfusion matrixを同時に対角化します。
実は、先のモジュラーS行列がまさにそのような行列になっています。実際、頑張って計算すると、それぞれ
$$\sum_{\rho, \sigma}X_{rs; \rho\sigma} \mathcal{S}_{\rho\sigma; r's'} =
2(-1)^{s'}\cos\left(\pi \frac{p}{p'}r'\right)\mathcal{S}_{rs; r's'}
$$
$$\sum_{\rho, \sigma}Y_{rs; \rho\sigma} \mathcal{S}_{\rho\sigma; r's'} =
2(-1)^{r'}\cos\left(\pi \frac{p'}{p}s'\right)\mathcal{S}_{rs; r's'}
$$
とわかり、ここからモジュラー$S$行列の列成分は$X$および$Y$、ないし全てのfusion matrixの同時固有ベクトルを与えていることがわかります。いま、その固有方程式を
$$\sum_{k,l}[N_{(r,s)}]_{mn, kl}\mathcal{S}_{kl, \rho \sigma} = \gamma_{r,s}^{(\rho, \sigma)} \mathcal{S}_{mn, \rho\sigma}$$
と書くと、上で述べたfusion matrixの性質から
$$\mathcal{N}_{11; rs}^{~~~mn} = \sum_{k,l}\mathcal{S}_{11;kl}\gamma_{r,s}^{(k,l)}\mathcal{S}_{kl,mn} = \delta_{r,m}\delta_{s,n}$$
となり、両辺に$\mathcal{S}_{mn;\rho\sigma}$をかけて和をとると
$$\sum_{k,l}\sum_{m,n}\mathcal{S}_{11;kl}~\gamma_{r,s}^{(k,l)}\mathcal{S}_{kl,mn}\mathcal{S}_{mn;\rho\sigma} = \sum_{m,n}\delta_{r,m}\delta_{s,n}\mathcal{S}_{mn;\rho\sigma} = S_{rs;\rho\sigma}$$
となります。最後に、$\mathcal{S}$行列のユニタリ性から$\sum_{m,n}\mathcal{S}_{kl,mn}\mathcal{S}_{mn;\rho\sigma} = \delta_{kl, \rho\sigma}$となるので、固有値が
$$\gamma_{r,s}^{(\rho,\sigma)} = \frac{\mathcal{S}_{rs; \rho\sigma}}{\mathcal{S}_{11;\rho\sigma}}$$
とわかります。ゆえ、
$$\sum_{k,l}\mathcal{N}_{rs; mn}^{~~~kl}\mathcal{S}_{kl; \rho\sigma}= \frac{\mathcal{S}_{rs; \rho\sigma}}{\mathcal{S}_{11; \rho\sigma}}\mathcal{S}_{mn; \rho\sigma}$$
となり、ここから所望のVerlinde formulaの形を得ます。(証明終)

(ii)conformal blockに対する作用として

この証明については、参考文献[1]の議論をちゃんと追うとなるとやや大変なので、ここでは概略を述べるだけにします。後でまた述べますが、conformal blockに対する変換として指標のモジュラー変換を考えるこの議論は、ミニマル模型よりも広いクラスのfusion代数を持つ理論に対して適用できます。
重要なのは、指標が次のようなconformal blockとして書けることです：
$$\chi_{j}=\lim_{z\to w}(z-w)^{2h_i}\mathcal{F}^{i^{*}j}_{ij}(0|z-w)$$
ただし、conformal blockとは次のようなtreeダイヤグラムからの寄与(の正則部分)です。

conformal blockは、4点相関関数³$\langle \phi_{1}(z_1, \bar{z_1})\phi_{2}(1, 1)\phi_{3}(x, \bar{x})\phi_{4}(0, 0)\rangle$(あるいは、一般の$n$点相関関数)を展開した時に登場する中間チャンネルからの寄与を表します。実際、
$$(G_{42}^{31}(x, \bar{x}) :=) \lim_{z_1, \bar{z}_1 \to \infty}
z_1^{2h_1}
\bar{z}_1^{2\bar{h}_1}
\langle \phi_{1}(z_1, \bar{z_1})\phi_{2}(1, 1)\phi_{3}(x, \bar{x})\phi_{4}(0, 0)\rangle
=\sum_{p}C^{p}_{34}C^{p}_{12}A_{42}^{31}(p|x,\bar{x})
$$
として関数$A_{42}^{31}(p|x,\bar{x})$を定義すると、この正則部分$\mathcal{F}_{42}^{31}(p|x)$がconformal blockと言われる関数です。全てのconformal blockの集合が有限になるような共形場理論はRational CFT(有理共形場理論)と呼ばれます。
トーラス上の共形場理論における共形族の指標$\mathrm{Tr}_{\mathcal{H}_j}[q^{L_0-c/24}]$は、トーラス上の1点関数$\langle \phi_0\rangle$の展開に登場する中間状態からの寄与と理解できます。この時、先のconformal blockを図で描くと以下のようになります。

中間チャンネルに登場する場($\phi_p$またはそのdescendant場)は、$\phi_1\times \phi_2$と$\phi_3\times \phi_4$の両方のfusionに含まれる必要があり、そうでない場合、そのconformal blockはゼロになります。指標の場合に戻って考えると、恒等場$\phi_0 = \phi_{(1,1)}$は($i$の選び方によらず)常に$\phi_i\times\phi_{i*}$と$\phi_j\times\phi_{j*}$のfusionで現れるため、$i$を何に選んでもこのconformal blockは消えずに定義できることがわかります。

さて、トーラス上の独立な可縮でないループには以下の$\mathsf{a}$と$\mathsf{b}$の2種類があります。

$\mathsf{a}$を空間方向、$\mathsf{b}$を時間方向と見ると、$\mathcal{H}_j$でトレースを取ることは、$\phi_j$を$\mathsf{b}$に沿って1周分並進させることに対応します。
いま、先の指標$\chi_j$を与えるconformal blockに対して、「場$\phi_{i}$をトーラス上のループに沿って一周分動かす」という操作を考えます。
$\mathsf{a}$に沿って$\phi_i$を動かす操作は$\phi_j$のループに対しては単に係数分のファクターを与えます：
$$\phi_{i}(\mathsf{a})\chi_j = \gamma_{i}^{(j)}\chi_j. $$
一方、$\mathsf{b}$に沿って$\phi_i$を動かすと、$\phi_j$のループが$\phi_i$のループに囲われる形となり、2つのループのfusionによって$\phi_k$のループ(つまり指標$\chi_k$)が現れます：
$$\phi_{i}(\mathsf{b})\chi_j = \sum_{k}\mathcal{N}_{ij}^{~~k}\chi_k. $$
図で描くと、それぞれこのようなconformal blockに対する変換として描かれます。

ここで、モジュラー$\mathcal{S}$変換はループ$\mathsf{a}$と$\mathsf{b}$を入れ替える操作に対応します：$\phi_i(\mathsf{b}) = \mathcal{S}\phi_i(\mathsf{a})\mathcal{S}^{-1}. $
より、$\phi_i(\mathsf{b})$の指標に対する作用を書き直すことができて、 指標$\chi_j$の基底のもとで行列表示すると
$$\sum_{k}\sum_{m}(\mathcal{S}_{im}\gamma_{j}^{(m)}\mathcal{S}^{-1}_{mk})\chi_{k}=\sum_{k}\mathcal{N}_{ij}^{~~k}\chi_k$$
となり、$\mathcal{N}_{ij}^{~~k} = \sum_{m}\mathcal{S}_{im}\gamma_{j}^{(m)}\mathcal{S}^{-1}_{mk}$を得ます。最後に、$\mathcal{S}$のユニタリ性を使えば、$\mathcal{S}_{0m}\gamma_{j}^{(m)} = \mathcal{S}_{jm}$を得て、先の式とあわせてVerlinde formulaを与えます。

ここで1点補足すると、こっちの証明ではモジュラー$\mathsf{S}$行列が逆行列を持ち(非退化である)ユニタリーであることのみを使用しており、これはミニマル模型よりも広いクラスのモデル(一般のユニタリなRCFT)で成立します。

おわりに

この記事ではVerlinde formulaの紹介が事実上のゴールでしたが、この公式はトーラス上に定義された共形場理論のoperator algebraが、モジュラー変換性という幾何学的な性質によって決定されるという非自明な関係式です。「理論がトーラス上に定義されている」という時空の幾何学に由来した制約が、"rationalな"共形場理論ではlocalな場どうしの関係を規定する強力な条件となって現れるという事情は、共形場理論の状態空間に非常に豊かな数学的構造をもたらします。

もう少しだけ数学的な背景を述べると、Rational CFTの共形族(あるいはVerma加群)のそれぞれは、vertex operator algebra (chiral algebra)と呼ばれる無限次元の代数の表現空間であり、全てのVerma加群の集合にfusionによる関係を入れたものはvertex operator algebraの表現圏$\mathrm{Rep}(\mathcal{A})$を成します。
共形族のfusionが付加情報としてモジュラー変換のデータを持つということは、この表現圏が単なるテンソル圏ではなく、モジュラーテンソル圏という特別な構造を持った圏になっていることとして理解されます。
モジュラー$\mathcal{S}$変換は、先の演算子$\phi_{i}(\mathsf{a})$と$\phi_{i}(\mathsf{b})$を入れ替える操作に対応しますが、これはループ状の演算子同士の「絡み」(braiding)構造を変える操作であり⁴、このような構造を持つことは表現圏$\mathrm{Rep}(\mathcal{A})$にbraided tensor categoryとしての性質を与えます。

この辺の豊かな話については僕が何も理解していないので、興味を持った方はこんなの読んでないで以下の文献を読んだ方がいいと思います。

参考文献

この記事の内容の100%は次の教科書に基づいています：
[1]Philippe Francesco , Pierre Mathieu , David Sénéchal. Conformal Field Theory. (Springer) https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-2256-9
ですが、この重要な結果の歴史的な起源を辿ることにも意義がある気がしています。
[2]Erik Verlinde. Fusion rules and modular transformations in 2D conformal field theory.
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321388906037?via%3Dihub
[2]が出てから比較的間もない頃に行われたMooreとSeibergの有名なlectureのノートには、vertex operator algebraの表現としてのRational CFTの豊かな構造に関する体系的な説明がなされています。
[3]https://www.physics.rutgers.edu/~gmoore/LecturesRCFT.pdf

1. これをなんて呼んでいいのかはよく分かっていない。あえて言うならdilatation群みたいな感じなのだろうか。 ↩

2. fusion ringの随伴表現、あるいはfusion ringから行列環へのring homomorphism. ただし、左辺の環構造における和演算はVerma加群の直和で、積演算はVerma加群のfusion(テンソル積)。 ↩

3. 2次元の共形場理論では、4点関数の座標依存性は「交差比」$x=\frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}$のみに対する依存性に集約されます。これは共形不変性からの帰結です。 ↩

4. 同じ種類($\mathsf{a}$どうし、$\mathsf{b}$どうし)のループは絡みがありませんが、$\mathsf{a}$と$\mathsf{b}$の間には絡みがあります。より、ループの種類を取り替える操作は、2つのループを絡ませる/絡みをほどく操作として理解できます。 ↩