はじめに
なかしゅです。物性物理を勉強します。
イントロダクション: 共形場理論(CFT)
場の理論と対称性
場の理論とは、ターゲット空間(典型的には時空)上に連続的に配置された自由度に関する理論です。場$\phi: M\to V$($V$は場の種類に応じて様々な内積空間に取る)はターゲット空間を底空間としたベクトル束の切断(section)のようなものであり、その力学は作用と呼ばれる場の汎函数$S[\phi]$によって記述されます。
場の古典論は、作用汎函数の停留点を与える場の配位が古典解として選択された理論であり、物理量の値は場の汎函数として決定的に与えられます。一方、場の量子論ではあらゆる可能な配位を重みつきで取り入れる定式化(経路積分)を採用し、観測可能量は相関関数
$$\langle \mathcal{O}_1\cdots\mathcal{O}_n\rangle = \frac{1}{Z}\int \mathcal{D}\phi~ \mathcal{O}_1\cdots \mathcal{O}_n e^{iS[\phi]} ~~\left(Z=\int \mathcal{D}\phi e^{iS[\phi]}\right)$$
として与えられます。
「対称性」とは何らかの変換操作に対する不変性のことを指します。場の理論における対称性には、
(1)時空座標の取り替えに伴う場の再定義1 $\phi(x)\to \phi'(x')$
(2)場の量そのものに対する変換 $\phi(x)\to R(\phi)(x)$
の2種類の操作に対するものが考えられ、前者は「時空対称性」、後者は「内部対称性」と呼ばれます(格子場の理論の場合は「オンサイト対称性」とも言います)。時空対称性の例は並進や回転などで、内部対称性の例はU(1)回転やスピン変数の反転などです。
場の理論が「大域的対称性を持つ」というときは、全ての局所場に対して(時空座標によらず)一斉に同じ変換を施した場合の対称性を指します。ここで、理論の対称性は、古典論では作用の不変性$S[\phi']=S[\phi]$として、量子論では相関関数の不変性
$$\langle\phi_1(x_1)\cdots \phi_n(x_n)\rangle = \langle
\phi'_{1}(x_1)\cdots \phi'_n(x_n)\rangle$$
として与えられます(ただし、変換で経路積分測度が不変な場合)。
連続的な時空対称性の場合、時空座標の無限小変換$x\to x+\frac{\delta x}{\delta \omega_a}\omega_a$に対する場の変化$\phi(x)\to \phi(x')$を、同一点における場への変換作用として書くことができます2: $\delta_{\omega}\phi = \phi'(x)-\phi(x). ~$
いま、時空座標変換が定める場の無限小変換を$\delta_{\omega}\phi = -i\omega_a G_a \phi(x)$, この時の作用の変換を$S[\phi+\delta_{\omega}\phi] = S[\phi] + \int d^d x \partial_{\mu} j_a^{\mu}\omega_a$と書くと、場の相関関数の大域的対称性からの帰結として
$$~~\langle \partial_{\mu}j_a^{\mu}(x)\phi_1(x_1)\cdots \phi_n(x_n)\rangle =-i\sum_{j=1}^{n}\delta(x-x_j)\langle \phi_1(x_1)\cdots G_a\phi_j(x_j)\cdots \phi_n(x_n)\rangle $$
が従います(Ward-Takahashi恒等式)。
共形対称性
共形対称性(conformal symmetry)とは、時空の
(1)並進 $x'^{\mu} = x^\mu + a^\mu$
(2)回転 $x'^\mu = M^\mu_\nu x^\nu$
(3)スケール変換 $x'^{\mu} = \alpha x^\mu$
(4)特殊共形変換 $x'^{\mu} = \frac{1^\mu - b^\mu x^2}{1-2b\cdot x + b^2 x^2}$
の下で不変な場の理論であり、この理論では作用の無限小共形変換から定義されるエネルギー・運動量テンソル
$$\delta S = \int d^d x ~T^{\mu\nu}\partial_{\mu}\epsilon_{\nu}~~~(x^\mu\mapsto x^\mu + \epsilon^\mu)$$
が重要な役割を担います(後でわかるように、2次元の理論ではこれが無限小共形変換の生成子として場に作用します)。
2次元時空上の共形場理論
時空が2次元の場合、複素座標$z = x_1+ix_2, \bar{z}=x_1-ix_2$を採用すると、
共形変換全体はCauchy-Riemannの関係式を満たす変換の全体、すなわち正則/反正則写像の全体と一致し、この時無限小座標変換$z\mapsto z+\epsilon(z)$のもとでの場の変換則は
$$\delta \phi (= \phi'(z, \bar{z})-\phi(z,\bar{z}))=
-\epsilon(z)\partial\phi - \bar{\epsilon}(\bar{z})\bar{\partial}\phi$$
と、正則部分と反正則部分に完全に分けられます：$\phi(z, \bar{z})=\phi(z)\phi(\bar{z})$。この時、無限小共形変換の生成子も
$$l_n = -z^{n+1}\partial_z,~~ \bar{l_n} = -\bar{z}^{n+1}\partial_{\bar{z}}~~(n\in\mathbb{Z})$$
と書け、生成子のなす代数の表現も正則部分と反正則部分に完全に分かれます。
理論に登場する場のうち、共形変換のもとで
$$\phi'(w, \bar{w}) = \left(\frac{dw}{dz}\right)^{-h}\left(\frac{d\bar{w}}{d\bar{z}}\right)^{-\bar{h}}\phi(z, \bar{z})$$
と変換する場をプライマリ場といい、状態空間の構成において主要な役割を担います。$h, \bar{h}$はプライマリ場を指定する量(共形次元)であり、$\Delta = h + \bar{h}$および$s=h-\bar{h}$をそれぞれスケーリング次元、スピンと呼びます。
以降はつねに時空2次元の共形場理論について考えるものとします。
演算子形式
いま、空間方向をコンパクト化$(x\sim x+L)$したシリンダー上の理論を考えます。このシリンダーを共形変換$z=e^{2\pi w/L}$によって平面に移し、時間方向を動径方向、空間方向を角度方向と同定する座標を採用すると、便利なことがあります。
実際、「無限の過去に局所的な励起(局所場、あるいは生成演算子)が挿入され、そのHilbert空間が時間発展する」という描像は、平面上では原点$(0,0)$に局所場が挿入されたものとみなせます。この描像のもとで量子論を作ることを、動径量子化(radial quantization)といいます。
動径量子化のもとでは、「無限の過去に励起が生じた状態(始状態)」を、「原点に(漸近的に)生成演算子が挿入された状態」として次のように与えます：$|\phi\rangle = \lim_{z, \bar{z}\to 0}\phi(z, \bar{z})|0\rangle. $場のエルミート共役はもとのシリンダーにおける時間方向の反転、あるいは平面上での$z\to 1/\bar{z}$に対応します：$[\phi(z, \bar{z})]^\dagger = \bar{z}^{-2h}z^{-2\bar{h}}\phi(1/\bar{z}, 1/z). $さらに、状態同士の内積は、
$$\langle \phi'|\phi\rangle = \lim_{z, \bar{z}\to 0}\lim_{w, \bar{w}\to 0}\langle 0|\phi(z, \bar{z})^{\dagger}\phi(w,\bar{w})|0\rangle
= \lim_{\zeta, \bar{\zeta}\to \infty}\bar{\zeta}^{2h}\zeta^{2\bar{h}}\langle 0|\phi(\zeta, \bar{\zeta})\phi(0,0) |0\rangle$$
と計算されます。
いま、この平面の上で場をモード展開しましょう：
$$\phi(z, \bar{z}) = \sum_{m\in \mathbb{Z}}\sum_{n\in \mathbb{Z}}z^{-m-h}\bar{z}^{-n-\bar{h}}\phi_{m, n}. $$
この時の係数は、複素周回積分
$$\phi_{m,n}=\frac{1}{2\pi i}\oint dz z^{m+h-1}\frac{1}{2\pi i}\oint d\bar{z}\bar{z}^{n+\bar{h}-1}\phi(z, \bar{z})$$
で書け、先の理由によりこれは正則部分と反正則部分に分けられます。
以下、正則部分のみに着目します(反正則部分については同様の議論が成立するため省略します)：
$$\phi(z)=\sum_{m\in \mathbb{Z}}z^{-m-h}\phi_m, ~~
\phi_m = \frac{1}{2\pi i}\oint dz~z^{m+h-1}\phi(z)$$
エネルギー・運動量テンソルのモード展開は特に重要です：
$$T(z)=\sum_{m\in \mathbb{Z}}z^{-n-2}L_{n}, ~~
L_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint dz~ z^{n+1}T(z). $$
これは、時空の無限小共形変換(が引き起こす場の内部変換)の生成子として働き、Virasoro代数と呼ばれる無限次元の代数を与えます。
ここで、$L_0+\bar{L}_0$はスケール変換の生成子ですが、
今の座標では動径方向が時間を表すため、これは時間並進の生成子、すなわちハミルトニアンに対応します。
Virasoro代数
Virasoro代数とは、共形変換の生成子がなす(可算)無限次元の代数であり、正則部分と反正則部分でそれぞれ独立に閉じた代数をなします。
これらの生成子は次のような交換関係を満たします：
$$[L_n, L_{m}]=(n-m)L_{n+m} + \frac{c}{12}n(n^2-1)\delta_{n+m, 0}. $$
ここで, $c$は中心電荷と呼ばれ、理論の力学を特徴づけるmodel-dependentな定数です。
(1+1)次元時空上の共形不変な場の理論において、状態空間にはVirasoro代数の表現空間としての構造が付与されます。
Verma加群
理論に登場するプライマリ場を1つ指定した
時、それを親玉としてVirasoro代数の表現空間を構成することができます。理論の状態空間全体は、それを存在するプライマリ場の種類ごとに考えて直和をとったものになります
今、中心電荷$c$のVirasoro代数$\mathcal{V}_c$に対して、共形次元$(h, \bar{h})$のプライマリ場がある時、
その正則部分からつくられる$\mathcal{V}_c$の表現空間$\mathcal{V}(c,h)$(Verma加群)を、次のようなベクトル空間として定めます。
まず、$L_{n}|0\rangle=0$を満たす真空状態$|0\rangle$の存在を仮定します。
次に、共形次元$(h, \bar{h})$のプライマリ場の正則部分$\phi(z)$を作用させて得られる状態$|h\rangle = \lim_{z\to 0}\phi(z)|0\rangle$を考えます。
この状態は、$$L_0|h\rangle = h|h\rangle, ~L_n|h\rangle = 0 ~(n>0)$$を満たし、正則部分に対するハミルトニアン$L_0$の固有状態を与えます。
より一般の状態は、$L_{-n}$($n>0$)を繰り返し作用させることで得られます：
$$|h; k_1, k_2, \cdots, k_m\rangle = L_{-k_1}L_{-k_2}\cdots L_{-k_m}|h\rangle~~(k_i>0). $$
この状態は、$L_{0}$の固有値$h+K$($K=\sum_{i=1}^{m}k_i$)を持ち、レベル(level)$K$の状態と呼ばれます
(Virasoro代数の交換関係$[L_0, L_{-m}]=mL_{-m}$より)。
このようにして与えられる全ての状態のなすベクトル空間を$\mathcal{V}(c, h)$と書きます。
このベクトル空間では、異なるレベルの状態は互いに直交し、レベル$K$の状態全体のなす部分空間の次元は、整数$K$を整数の和に分割する方法の数(分割数)$p(K)$に等しくなります。
これは$|h\rangle$を"最低ウェイト状態"としたVirasoro代数の表現空間をなしています3。
理論の状態空間全体は、このVerma加群を正則部分と反正則部分でそれぞれ構成し、さらに存在するプライマリ場の種類ごとに直和をとったものになります:
$$\mathcal{H} = \bigoplus_{(h, \bar{h})}\mathcal{V}(c,h)\otimes \bar{\mathcal{V}}(c,\bar{h}). $$
共形族(conformal family)
先に定義したVerma加群$\mathcal{V}(c,h)$において、親玉となる状態$|h\rangle = \lim_{z\to 0}\phi(z)|0\rangle$をプライマリ状態、そこから系統的に作られる状態をディセンダント状態といいます。
ここで、動径量子化のもとでは、このディセンダント状態は「無限の過去に場が挿入された状態」とみなすことができ(状態-演算子対応)、そのような描像を与える場をディセンダント場といいます。
例えば、ディセンダント状態$L_{-n}|h\rangle$は、ディセンダント場
$$\phi^{-n}(w)\equiv (L_{-n}\phi)(w)0=\frac{1}{2\pi i}\oint_{w}dz~\frac{1}{(z-w)^{n-1}}T(z)\phi(w)$$
が無限の過去に挿入された状態$(L_{-n}\phi)(0)|0\rangle$とみなせます。
このように、Verma加群の各状態に対応して存在するプライマリ場および全てのディセンダント場の集合を、共形次元$h$の**共形族(conformal family)**といいます。
共形族は理論の状態空間の部分空間であり、その数は理論に登場するプライマリ場の数に等しくなります。
Operator algebra
演算子積展開(Operator Product Expansion)
共形場理論では時空は長さのスケールを持たないので、「2つの局所場が近接している」状況と「1つの局所場がある」状況は物理的に同じに見えます。この事情は**演算子積展開(operator product expansion, OPE)**という概念でまとめられ、2つの局所場の積(あるいは2点関数)を1つの局所場によって展開できるという式(仮定?)になります:
$$\phi_{i}(x)\phi_j(y)\sim \sum_p C_{ij; p}\varphi_p\left(\frac{x+y}{2}\right)$$
特に、2つの場がともにプライマリ場である時、OPEの形は
$$ \phi_1(z, \bar{z})\phi_{2}(0,0)=
\sum_{p}\sum_{k, \bar{k}}C_{12}^{p\lbrace k, \bar{k}\rbrace}z^{h_p-h_1-h_2+K}\bar{z}^{\bar{h}_p-\bar{h}_1-\bar{h}_2 + \bar{K}}
\phi_p^{\lbrace k, \bar{k}\rbrace}(0,0) $$
のようになり($\lbrace k, \bar{k}\rbrace $は展開に登場する場のレベル)、特にレベル0における係数は3点関数の係数と一致します：
$$C_{12}^{p \lbrace{k, \bar{k} \rbrace} }= C_{p12}. $$
高次のレベルにおける係数もVirasoro代数の性質から帰納的に計算できますが、一般的には非常に複雑です。
以下では、具体的な係数の情報には目を瞑り、「どのような2つの場のOPEから、どのような種類の場が出てくるか?」というfundamentalな代数構造にのみ着目します。
fusion rule
いま、ある共形族$\alpha$に属する場$\phi_{\alpha}$と別の共形族$\beta$に属する場$\phi_{\beta}$を用意した時、2つの場の間のOPEを
$$\phi_{\alpha}\times \phi_\beta = \sum_{\gamma}\phi_{\gamma}$$
のようにsymbolicに書くものとします(ここでは$\phi_\alpha$や$\phi_\beta$の具体的な座標、および右辺に登場する$\phi_{\gamma}$たちのレベルの情報を全て落としたnotationを採用しています)。このように、2つの場のOPEからどのような場が登場するかという関係を、共形族のレベルで考えたものを、fusion ruleといいます(場と共形族を区別するために$[\phi_\alpha]$などと書くと良いかもしれません)。
直感的な言葉になりますが、fusion ruleは2種類の場(共形族)を"fusion"させた時にどのような場(族)が作られるかを示す代数的なルールといえます。
このfusion ruleは代数的に閉じる保証はなく、右辺に登場する$\gamma$は一般には可算無限個になりますが、理論(すなわち登場する共形族の組)の種類によってはこれが閉じた有限個の関係式からなる代数をなす場合があります。
次節では、導出を省略して、システマティックにそのような種類の理論を「つくる」方法について天下り的に述べます。
ミニマル模型
ミニマル模型とは、fusion ruleのもとで閉じた有限個の共形族からなる共形場理論のクラスであり、
その状態空間はVirasoro代数の特異表現(singular representation)から構成されます。
特異ベクトルとKac行列式
Verma加群の中には、特定のレベルにおいて全ての状態と直交するノルム0の状態が登場する場合があります。このような状態を特異ベクトル(singular vector)あるいはnull vectorといいます。
いま、Verma加群の中のあるレベル$K$において、その基底
$$\lbrace L^K_{-1}|h\rangle, \cdots, L_{-K}|h\rangle \rbrace$$
から定義されるGram行列
$$ M_{ij}^{(K)} = \langle i|j\rangle $$($i,j$は基底の適当なラベル)を考えます。
この時、レベル$K$に特異ベクトルが存在することは、Gram行列の行列式が$0$になることと言い換えられます。
実は、この行列式には次のような表式が知られています(Kac行列式)。
レベル$K$におけるGram行列の行列式は次のように与えられます:
$$\mathrm{det}M^{K}=\alpha_{K}\prod_{
\begin{array}{c}
r,s\geq 1,\
rs\leq K
\end{array}
}
[h-h_{r,s}(c)]^{p(K-rs)}$$
ここで、$\alpha_K$は$K$ごとに決まる比例係数、$p(K-rs)$は整数$K-rs$の分割数であり、行列式のゼロ点$h_{r,s}$は$c$に依存する形で次のように書かれます:
$$h_{r,s}(c)= h_0 + \frac{1}{4}(r\alpha_{+}+ s\alpha_{-})^2, $$
$$h_0 = \frac{1}{24}(c-1), $$
$$\alpha_{\pm}=\frac{\sqrt{1-c}\pm \sqrt{25-c}}{\sqrt{24}}. $$
この式から、中心電荷$c$と共形次元$h$の特定の組$(c, h)=(c, h_{r,s})$に対し、それによって指定されるVerma加群$V(c, h_{r,s})$はレベル$rs(\leq K)$に特異ベクトルが存在することがわかります。
ここで、レベル$K-1$より小さいレベルに特異ベクトルが存在する場合、レベル$K$(およびその上)にも必ず特異ベクトルが存在することに注意しましょう。実際、特異ベクトルは$L_{-m}$をいくら作用させても特異ベクトルです。
Verma加群がレベル1で特異ベクトルを持つような場合は$h=h_{(1,1)}$の時ですが、上の表式から$h_{1,1}=0$とわかり、これは恒等演算子をプライマリ場とする共形族に対応します。
なお、この共形族$V(c, h_{1,1})=V(c, 0)$におけるレベル2のディセンダント場はエネルギー・運動量テンソル$T(z)$に一致します。
レベル2の場合の例
$\mathcal{V}(c,h)$において、レベル2の状態はディセンダント状態の線型結合として
$$|\psi\rangle = \left[L_{-2}+\eta L_{-1}^2\right]|h\rangle$$
と書けます。この状態は、
$$L_{1}|\psi\rangle = (3+2\eta + 4h\eta)L_{-1}|h\rangle=0, ~~
L_2|\psi\rangle = \left(\frac{1}{2}c + 4h + 6h\eta\right)|h\rangle=0$$
の時、すなわち
$$\eta = -\frac{3}{2(2h+1)}, ~~
h=\frac{1}{16}\lbrace 5-c \pm \sqrt{(c-1)(c-25)} \rbrace$$
の時に特異ベクトルとなります。この時、特異ベクトルに対応する場
$$\psi(z)=\phi^{(-2)}(z)-\frac{3}{2(2h+1)}\frac{\partial^2}{\partial z^2}\phi(z)$$
は相関関数の中で消え、このことから任意の場$X$に対する微分方程式
$$\Big\lbrace\sum_{i=1}^{N}\Big[\frac{1}{z-z_i}\frac{\partial}{\partial z_i} + \frac{h_i}{(z-z_i)^2}\Big]-\frac{3}{2(2h+1)}\frac{\partial^2}{\partial z^2}\Big\rbrace\langle\phi(z)X\rangle$$
が従います。特に、$X$として適当な共形族$[\phi_1]$, $[\phi_2]$のプライマリ場の積を取ると、3点関数
$$\langle \phi(z)\phi_1(z_1)\phi_2(z_2)\rangle = \frac{C_{hh_1h_2}}{(z-z_1)^{h_2 - h - h_1}(z_1-z_2)^{h-h_1-h_2}(z-z_2)^{h_1-h-h_2}}$$
に対する微分方程式から、係数$C_{hh_1h_2}$(OPEの係数に等しい)が消えないような共形次元の組に対する制約
$$2(2h+1)(h+2h_2-h_1)=3(h-h_1 + h_2)(h-h_1 + h_2 +1)$$
が導かれます。
一般の場合も、このように特異ベクトルを与えるプライマリ場の存在が、3点関数に対する微分方程式を導き、そこからOPEの係数が消えないような共形次元の組$(h_1, h_2)$が制限されます。プライマリ場に対するこのような制約は、共形族のfusion ruleに対する制約として働きます。
fusion ruleに対する制約
Verma加群に特異ベクトルが存在するような共形族("null family"と呼ぶことにします)どうしのfusion ruleには、さらに強い制限が課されます(先の例は、2つの場うち一方がnull familyに属する場合の制約でしたが、今は両方が(必ずしも同じとは限らない)null familyに属する場合を考えます)。
例えば、共形次元が$h=h_{1,2}$および$h_{2,1}$の共形族$[\phi_{(1,2)}]$, $[\phi_{(2,1)}]$に対するfusion ruleは、先の共形次元に対する制約から
$$\phi_{(1,2)}\times [\phi_{(2,1)}] = [\phi_{(2,0)}] + [\phi_{(2,2)}]$$
$$\phi_{(2,1)}\times [\phi_{(1,2)}] = [\phi_{(0,2)}] + [\phi_{(2,2)}]$$
まで小さくなりますが、さらにOPEはその性質上可換であるため、2者の整合性から
$$[\phi_{(1,2)}] \times [\phi_{(2,1)}] = [\phi_{(2,2)}]$$
にまとめられます(つまり、族$[\phi_{(1,2)}]$と$[\phi_{(2,1)}]$からは$[\phi_{(2,2)}]$しか登場しない、ということです)。
一般の場合、この事情は次のようなfusion ruleの一般形に集約されます：
$$[\phi_{(r_1, s_1)}] \times [\phi_{(r_2, s_2)}] = \sum_{
\begin{array}{c}
k=1+|r_1-r_2| \
k+r_1 + r_2 = 1~~\mathrm{mod}~2
\end{array}
}^{k=r_1 + r_2 -1}
\sum_{
\begin{array}{c}
l=1+|s_1-s_2| \
l+s_1 + s_2 = 1~~\mathrm{mod}~2
\end{array}
}^{l=s_1 + s_2 -1}
\phi(k,l).
$$
この時点でfusion ruleは十分「小さく」なっていますが、まだこれが共形族のなす代数として閉じている保証はありません(fusionを繰り返すことによって、2つの共形族から無限に新たな共形族をつくり出すことができるかもしれない)。
ここで、さらに特別な中心電荷$c$の値のもとでは、fusion ruleが有限個の共形族で閉じることが知られています。結論だけを述べると、中心電荷が2つの互いに素な正整数$(p,q)$を用いて
$$c=1-6\frac{(p-q)^2}{pq}$$
と書ける場合、理論に登場する共形族を
$$h_{r,s}=\frac{(pr-qs)^2 - (p-q)^2}{4pq} (1\leq r < q, ~ 1\leq s < p)$$
なるもの(つまり、先の$c$に対するKac行列のゼロ点)のみに制約すれば、fusion ruleは
$$[\phi_{(r_1, s_1)}] \times [\phi_{(r_2, s_2)}] = \sum_{
\begin{array}{c}
k=|r_1-r_2|+1 \
k+r_1 + r_2 = 1~~\mathrm{mod}~2
\end{array}
}^{k_{max}}
\sum_{
\begin{array}{c}
l=|s_1-s_2|+1 \
l+s_1 + s_2 = 1~~\mathrm{mod}~2
\end{array}
}^{l_{max}}
\phi_{(k,l)} $$
となります(ここで、$k_{max}=\mathrm{min}(r_1 + r_2 -1, 2q - r_1 - r_2 -1), $$l_{max}=\mathrm{min}(s_1 + s_2 -1, 2p - s_1 - s_2 -1)$)。
一般の$c$に対してはKac行列$M^{(K)}$のゼロ点はレベル$K$を大きくするごとに無限に存在しますが、今の場合、Kac行列のゼロ点に対して周期性が存在します: $h_{r,s}=h_{r+q, s+p}, ~~h_{r,s}=h_{q-r, p-s}$. この周期性によって、fusion ruleが有限個の共形族で閉じることが保証されます。
このような中心電荷$c$のもとで、fusionで閉じた有限個の共形族からなる共形場理論を ミニマル模型(minimal model) といいます。
ミニマル模型の状態空間は、これらの共形族に対応する"既約な"(i.e. 特異ベクトルを$0$と同一視する同値関係でmod outした)Verma加群$M(c, h_{r,s})$から構成されます。
Verma加群のどのような組み合わせによって理論を構成するかはこの時点では任意性があり、追加の構造を付与するごとに課される理論の整合性条件(例えば、トーラス上のCFTにおけるモジュラー不変性)を満たすように決定されますが、特に単純な例として、理論に登場する場を全てspinlessなものにとる"diagonal"な場合が考えられます:
$$\mathcal{H}=\bigoplus_{1\leq r< q, 1\leq s <p}M(c, h_{r,s})\otimes \bar{M}(c, h_{r,s}). $$
ちなみに、先に与えたKac行列式のゼロ点の表式を思い出せば、ミニマル模型を与える$c$の値は、$p\alpha_{-}+q\alpha_+ = 0$、すなわち$\frac{\alpha_+}{\alpha_-}$が有理数となる場合に対応することがわかります。
メモ："rational CFT"との違い
ミニマル模型と似て非(?)なる概念としてrational CFTという言葉があります。
一般に、共形場理論の(正則部分の)状態空間は、Virasoro代数を部分代数に含むカイラル代数の表現をなしています。
カイラル代数はVirasoro代数の拡大であり、Virasoro代数に加えてさらに多くの生成子を含んでいます。例えば、単純リー群$G$に対するレベル$k$のWess-Zumino-Witten模型において、理論の対称性はカレント$J(z)=J^{a}(z)T_a:=-k\partial_z g(z) g(z)^{-1}$($T^a$はリー代数$\mathfrak{g}$の基底)のモード
$J^{a}(z)=\sum_{m\in \mathbb{Z}}J_m^{a} z^{-m-1}$のなす代数
$$[J^a_n, J^b_m]= if_c^{ab} J_{n+m}^c + \frac{k}{2}\delta^{ab}n\delta_{n+m,0}$$
であり(カレント代数)、これはカレントのOPE
$$J^{a}(z)J^{b}(w) = i\frac{f_c^{ab} J^{c}(w)}{z-w} + \frac{k/2\delta^{ab}}{(z-w)^2} + (\mathrm{regular~term})$$
から導かれます($f_c^{ab}$は構造定数)。この時、部分代数としてのVirasoro代数の構造は、
$$L_{n}=\frac{1}{k+h_{G}^{\vee}}\sum_{m\in \mathbb{Z}}\sum_{a=1}^{\mathrm{dim}G}:J_{n-m}^{a}J_{m}^a:$$
によってVirasoro generatorを構成することにより与えられます($h_{G}^{\vee}$は$G$の"dual Coxeter number": $f^{abc}f_{abd}=2h^{\vee}_G \delta^c_d$。記号:\mathcal{O}:は動径量子化の下での正規順序)。
Rational CFTとは、このカイラル代数の表現空間が有限個の既約表現の直和として書けるような共形場理論を指します。
一方で、ミニマル模型はVirasoro代数そのものの表現空間として有限個の既約表現の直和で書けるようなもののことであり、Rational CFTよりも狭いクラスの理論を指します。
実際、物理的に重要なRational CFTの例として$R=\sqrt{2k}~(k\in\mathbb{Z})$ compact Boson (あるいは、$K=\frac{k}{2}$なるLuttinger parameterを持つLuttinger液体)は、レベル$2k$の$U(1)$ アフィンKac-Moody代数の表現空間として有限個の既約表現の直和で書けますが、これはミニマル模型ではありません。
ミニマル模型とRational CFTの違いがどのような場面において重要になるかについては、ここでは省略します。おそらく、理論の可積分性やmodular tensor圏としての共形族の代数構造などとの関連性はあると思います。
特に、後者はtopological orderにおける境界の理論を記述する際に重要になってくると思いますが、現時点での僕が全く理解していないため、いずれ加筆されることを祈りましょう。
おわりに
こんなの読んでないで下の参考文献を読んだ方がよっぽど勉強になると思います。それでは良いお年を。
参考文献
Philippe Francesco , Pierre Mathieu , David Sénéchal.
Conformal Field Theory. (Springer)
江口徹, 菅原祐二. 共形場理論. (岩波書店)