この記事について
パウリゲート（XZY）を細かく見てみるで示した通り、パウリ$X$は下記のように行列もしくはbraketで一般化して書くことができました。
% basic braket
\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|}
\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}
\newcommand{\bracket}[2]{\left\langle #1 \middle| #2 \right\rangle}
\newcommand{\ketbra}[2]{\left| #1 \right\rangle \left\langle #2 \right|}
\newcommand{\ketbraket}[3]{\left| #1 \right\rangle \left\langle #2 \middle| #3 \right\rangle}
% small-size
\newcommand{\bras}[1]{\left\langle {\scriptsize #1} \right|}
\newcommand{\kets}[1]{\left| {\scriptsize #1} \right\rangle}
\newcommand{\brackets}[2]{\left\langle {\scriptsize #1} \middle| {\scriptsize #2} \right\rangle}
\newcommand{\ketbras}[2]{\left| {\scriptsize #1} \right\rangle \left\langle {\scriptsize #2} \right|}
\newcommand{\ketbrakets}[3]{\left| {\scriptsize #1} \right\rangle \left\langle {\scriptsize #2} \middle| {\scriptsize #3} \right\rangle}
% Matrix
\newcommand{\tate}[2]{\begin{bmatrix} #1 \\ #2 \end{bmatrix}}
\newcommand{\yoko}[2]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \end{bmatrix}}
\newcommand{\mtrx}[4]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{bmatrix}}
X=\mtrx{0}{1}{1}{0}
\ \ \ \ \ \ \ \
X\ket{a}=\ket{\bar{a}}
\ \ \
(a \in {0,1})
一方で、パウリ$X$は下記のようにZ基底である、$\ket{0},\ket{1}$を用いて書き下す事ができます。
X = \ketbra{1}{0} + \ketbra{0}{1}
計算によってはパウリゲートを基底の$braket$で表現するほうが便利なタイミングもありますので、書き下しておきたいと思います。
なお、本稿は下記の記事を前提としていますので、下記もご確認いただければ幸いです。
また、他の量子コンピュータ関係の他の記事は、下記で紹介しています。
おさらい
パウリゲートと基底の関係
最初に、各種基底にパウリゲートを適用した結果を復習しておきます。
なお、このチャートに関してはブロッホ球と各種ゲートの関係をご確認ください。
グローバル位相
パウリゲート適用で、$+1,-1,+i,-i$等の位相を吐き出すものもあるので、復習しておきます
なお、この表に関しては、ブロッホ球とグローバル位相についてをご確認ください。
| 対象の基底 | Xゲート適用 $X\ket{\psi}$ |
Yゲート適用 $Y\ket{\psi}$ |
Zゲート適用 $Z\ket{\psi}$ |
|---|---|---|---|
| $\ket{0}$ | $\ket{1}$ | $\color{red}{i}\ket{1}$ | $\ket{0}$ |
| $\ket{1}$ | $\ket{0}$ | $\color{red}{-i}\ket{0}$ | $\color{red}{-1}\ket{1}$ |
| $\ket{+}=\frac{\ket{0}+\ket{1}}{\sqrt{2}}$ | $\ket{+}$ | $\color{red}{-i}\ket{-}$ | $\ket{-}$ |
| $\ket{-}=\frac{\ket{0}-\ket{1}}{\sqrt{2}}$ | $\color{red}{-1}\ket{-}$ | $\color{red}{i}\ket{+}$ | $\ket{+}$ |
| $\ket{i}=\frac{\ket{0}+i\ket{1}}{\sqrt{2}}$ | $\color{red}{i}\ket{i-}$ | $\ket{i}$ | $\ket{i-}$ |
| $\ket{i-}=\frac{\ket{0}-i\ket{1}}{\sqrt{2}}$ | $\color{red}{-i}\ket{i}$ | $\color{red}{-1}\ket{i-}$ | $\ket{i}$ |
パウリゲートを基底で書き下す
書き下しの意味
冒頭の下記の書き下しの意味を少し確認しておきましょう。
X = \ketbra{1}{0} + \ketbra{0}{1}
上記を用いて、$X\ket{0},X\ket{1}$を計算すると
\displaylines{
X\ket{0} = \ketbraket{1}{0}{0} + \ketbraket{0}{1}{0} = \ket{1}
\\
X\ket{1} = \ketbraket{1}{0}{1} + \ketbraket{0}{1}{1} = \ket{0}
}
上記と下記を見比べていただきたいのですが、パウリ$X$の入力・出力の関係が$braket$を用いて数式で表現されていることを確認できます。
X = \ketbra{入力_a時の出力}{入力_a} \ \ + \ \ \ketbra{入力_b時の出力}{入力_b}
パウリXは、
- 入力$\ket{0}$に対して、出力$\ket{1}$
- 入力$\ket{1}$に対して、出力$\ket{0}$
ですので、再度、冒頭の式を見るとご理解いただけるかと思います。
X = \ketbra{1}{0} + \ketbra{0}{1}
まとめると
では、パウリ$XYZ$を各種基底で書き下したいと思います。
最初に結果をしめします。位相変化する部分は、冒頭の表と同様に赤で示しています。
| 利用する基底 | パウリ$X$ | パウリ$Z$ | パウリ$Y$ |
|---|---|---|---|
| Z基底 $\ket{0}\ket{1}$ |
$\ketbra{1}{0} + \ketbra{0}{1}$ | $\ketbra{0}{0} \color{red}{-} \ketbra{1}{1}$ | $\color{red}{i}\ketbra{1}{0} \color{red}{-i} \ketbra{0}{1}$ |
| X基底 $\kets{+}\kets{-}$ |
$\ketbras{+}{+} \color{red}{-} \ketbras{-}{-}$ | $\ketbras{-}{+} + \ketbras{+}{-}$ | $\color{red}{-i}\ketbras{-}{+} \color{red}{+i} \ketbras{+}{-}$ |
| Y基底 $\ket{i}\ket{i-}$ |
$\color{red}{i}\ketbra{i-}{i} \color{red}{-i} \ketbra{i}{i-})$ | $\ketbra{i-}{i} + \ketbra{i}{i-}$ | $\ketbra{i}{i} \color{red}{-} \ketbra{i-}{i-}$ |
演算子を計算する
自明ですが、$X^2\ket{0} = XX\ket{0} = \ket{0}$ですが、この$X^2$の演算子とはなにか？
を計算で求めておくことができます。
\displaylines{
X^2 = (\ketbra{1}{0} + \ketbra{0}{1})(\ketbra{1}{0} + \ketbra{0}{1})
\\
= \ket{1}\bracket{0}{1}\bra{0}
\ + \
\ket{1}\bracket{0}{0}\bra{1}
\\+
\ket{0}\bracket{1}{1}\bra{0}
\ + \
\ket{0}\bracket{1}{0}\bra{1}
}
上記を整理すると、
\ketbra{1}{1} + \ketbra{0}{0}
となり、$\ket{0}$なら$\ket{0}$、$\ket{1}$なら$\ket{1}$という関係なので、$X^2=I$だとわかりました。
シンプルな例ですが、演算子まとめての効果を理解する際に、行列計算でも良いのですが、$braket$による計算のほうが効率的な局面もある。（と理解しています）
まとめ
パウリゲートを各種基底で書き下し、その式を用いて演算子を計算してみました。
演算子の計算に関しては、もうちょっと理解が深まったら、別のパターンもまとめて見たいと思います。