はじめに

Genetic Programmingを使って素数関数を発見してみようと思います．
結果から言うと発見できてないです．

前回

じつは2年前に同じ内容の記事を載せてます．
今回の記事は，前回からの2年間で学んできたGPの手法を取り入れたものとなります．

今回

前回からの差分は大きく分けて2つになります．

Batch Tournament Selectionへの移行
計算機の性能向上
scikit-learnベースの実装

前回から，Batch Tournamentと呼ばれるMini Batchの概念を取り入れたTournament Selectionを導入したことで，初期収束がなくなり，性能が飛躍的に向上しました．また，計算機の性能が向上したことで，集団サイズや世代数を増やせたので，それも性能向上に貢献しました．
GPで素数関数を探索しようとすると，学習するデータ数(素数の数)が100を超えると，ぜんぜん学習してくれません(MAE誤差が1000とかの状況が続く)．そのため，前回の素数関数探索では，データ数を10にしていました．それが，今回の記事では性能向上によって，学習データをかなり多めにとれるようになりました．

実装

ソースコードはここ
scikit-learnベースで実装しましたので，fit,score,predictなどの関数が実装されています．
また，scikit-learnのcross-validationやgrid-searchなどの関数にも適用できるモデルとなっています．

実験設定

パラメータは基本的に適当に決めました．

population size : 1000
max generation : 1000'
crossover : subtree swap
crossover rate : 0.8
mutation : node change
mutation rate : 0.1
height limit : 18
selection : batch tournament
tournament size : 64
batch size : 8
node set : $+,-,\times,\div,\sin,\cos,\tan,\log,\exp,\sqrt{n}$
leaf set : $\pi,e,x$

本当は，scikit-learnベースで実装したのでgrid-searchしたほうがいいんでしょうけど，計算資源を割り当てる時間がないので，やりませんでした．誰かparameter-searchしたら，もっといい結果報告してほしい．

データですが，2から始まる2000個の素数に対して学習をします．
そのあと，2から始まる10000個の素数に対してテストしてみます．
また，素数に対するインデックスは1から始まることにします．

結果

とりあえず，作れた関数から

- e^{2} + \left(e + x\right) \log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )} \cos{\left (e^{- e} \cos{\left (e e \left(\log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )} - \sqrt{\pi}\right) \right )} \right )} \cos{\left (e^{- e} \cos{\left (e \sqrt{\pi} e \log{\left (\pi \right )} \log{\left (e + x + \log{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} - \frac{e^{- \frac{1}{e} \left(\log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )} + \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )} - \cos{\left (e e^{2} \left(e + \log{\left (x \right )}\right) \log{\left (\pi \right )} \right )}\right)} \cos{\left (\frac{1}{\cos{\left (\cos{\left (\frac{e \cos{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}{\pi \sqrt{\cos{\left (\cos{\left (x e^{- e} \right )} \right )}}} \right )} \right )}} \cos{\left (\left(\cos{\left (e \pi \log{\left (\pi \right )} \log^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )} \right )} - \log{\left (\pi \right )}\right) e^{- \frac{\sqrt{\pi} e \log{\left (e \right )}}{\log{\left (\pi \right )}} \left(- \pi \sqrt{e} \cos{\left (e e^{e} \sqrt{e^{\cos{\left (\log{\left (e \right )} \right )}}} e^{- \cos{\left (\log{\left (e + x \right )} \right )}} \right )} + \pi\right)} \right )} \right )}}{- e + \frac{\cos{\left (\frac{\cos{\left (e^{-1} \right )}}{\log{\left (\pi \right )}} e^{- \cos{\left (\cos{\left (\frac{\log{\left (x \right )}}{\pi \left(- \pi + \sqrt{\pi}\right)} \right )} \right )}} \sqrt{\log{\left (x + e^{\log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )}} \right )}} \right )}}{\sqrt{e^{\cos{\left (\cos{\left (\frac{\log{\left (x \right )}}{\pi \left(\log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )} - \pi\right)} \right )} \right )}}}} \left(- e \cos{\left (\log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )} \right )} + e\right)}

ながすぎますね．sympyで簡単化をしてみたのですが，あんまり簡単にはなりませんでした．

\frac{1}{e \left(\left(\cos{\left (\log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )} \right )} - 1\right) \cos{\left (\frac{\cos{\left (e^{-1} \right )}}{\log{\left (\pi \right )}} e^{- \cos{\left (\cos{\left (\frac{\log{\left (x \right )}}{- \pi^{2} + \pi^{\frac{3}{2}}} \right )} \right )}} \sqrt{\log{\left (x + e^{\log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )}} \right )}} \right )} + \sqrt{e^{\cos{\left (\cos{\left (\frac{\log{\left (x \right )}}{\pi \left(\log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )} - \pi\right)} \right )} \right )}}}\right)} \left(e \left(- e^{2} + \left(e + x\right) \log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )} \cos{\left (e^{- e} \cos{\left (e e \left(\log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )} - \sqrt{\pi}\right) \right )} \right )} \cos{\left (e^{- e} \cos{\left (e \sqrt{\pi} e \log{\left (\pi \right )} \log{\left (e + x + \log{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )}\right) \left(\left(\cos{\left (\log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )} \right )} - 1\right) \cos{\left (\frac{\cos{\left (e^{-1} \right )}}{\log{\left (\pi \right )}} e^{- \cos{\left (\cos{\left (\frac{\log{\left (x \right )}}{- \pi^{2} + \pi^{\frac{3}{2}}} \right )} \right )}} \sqrt{\log{\left (x + e^{\log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )}} \right )}} \right )} + \sqrt{e^{\cos{\left (\cos{\left (\frac{\log{\left (x \right )}}{\pi \left(\log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )} - \pi\right)} \right )} \right )}}}\right) + e^{\frac{1}{e} \left(- \log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )} - \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )} + \cos{\left (e e^{2} \left(e + \log{\left (x \right )}\right) \log{\left (\pi \right )} \right )}\right)} \sqrt{e^{\cos{\left (\cos{\left (\frac{\log{\left (x \right )}}{\pi \left(\log{\left (\pi \right )} \log{\left (x \right )} - \pi\right)} \right )} \right )}}} \cos{\left (\frac{1}{\cos{\left (\cos{\left (\frac{e \cos{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}{\pi \sqrt{\cos{\left (\cos{\left (x e^{- e} \right )} \right )}}} \right )} \right )}} \cos{\left (\left(\cos{\left (e \pi \log{\left (\pi \right )} \log^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )} \right )} - \log{\left (\pi \right )}\right) e^{\frac{\pi^{\frac{3}{2}} e \log{\left (e \right )}}{\log{\left (\pi \right )}} \left(\sqrt{e} \cos{\left (e e^{e - \cos{\left (\log{\left (e + x \right )}
\right )}} \sqrt{e^{\cos{\left (\log{\left (e \right )} \right )}}} \right )} - 1\right)} \right )} \right )}\right)

まぁ，機械学習と比べたときのGPの利点は数式で近似関数が得られることなので，良いとしましょう．

今回の関数のMAE誤差は9.479829でした．
テストデータのMAE誤差は190.50854674519です．
誤差が大きすぎますね．頑張って1以下に収めたいところ

そして，今回の求められた素数関数の曲線は次のような感じです．

雰囲気で見ると，けっこう学習できてそうですが，誤差は190程度あるので，近似できてないです．

おわりに

本記事では，Genetic Programmingを使って素数関数を求めました．
2年前よりはいい結果が得られましたが，まだまだ素数関数を見つけることはできませんでした．
いつの日か誤差1以下の素数関数を見つけてみたいです．