アロー関数とfunction関数の違い

1、なぜfunction関数では動いて、アロー関数では動かなかったのか

functionによる関数の定義のタイミングとアロー関数による定義のタイミングが異なるからです
ただし、プログラミングは順次実行が多いので前もって定義しておく方が一般的かと思いますので、
基本的に前もって定義しておくことに慣れておいた方がいいかと思います。
（プログラムを追いかける場合も上で定義されたり下で定義されたりすると一貫性がなく読むのが辛くなると思います）

2、アロー関数では使用するメソッドは使用前に定義するものなのか

1に記載したので省略

3、2だとすればnew Promise内で呼んでいるtest関数はなぜエラーにならないのか

getDataが呼び出されているタイミングによります。
testまで定義された後、getDataが呼び出されたのであれば当然エラーにはなりません
おそらくですが、即時実行にした場合はエラーになると思います

PS.

async function getData() {
  const userList = [
    { id: 1, first_name: '優', family_name: '大木', affilication: 'TechTrain', is_student: false },
    { id: 2, first_name: '太郎', family_name: '山田', affilication: 'HogeHoge大学', is_student: true }
  ];

  const result = await new Promise(resolve => setTimeout(() => resolve(test(userList)), 3000));
-   return await result // ←awaitの意味がない
+   return result
}

testをアロー関数に直すとこのレベルでもいいかなと

const test = (data) => data.map((d) => ({
  ...d,
  full_name: `${d.family_name} ${d.first_name}`,
}));

まずちゃんとした変数宣言とセミコロンを付けるクセを付けましょう。
「自動セミコロン挿入」という末尾にセミコロンがなくてもブラウザ側でセミコロンがあるように解釈しますが、どちらかに等するなら兎も角、混在してはなりません。

変な省略の仕方はエラーの原因となります。

アロー関数とfunction関数の違いについてはここで書きません。検索すれば既に秀逸な記事がいくつも出てくるからです。

なぜfunction関数では動いて、アロー関数では動かなかったのか

前者では関数宣言をしているのに対し、後者は変数宣言がなされてない（結果的に未定義変数扱いとなってる）

2、アロー関数では使用するメソッドは使用前に定義するものなのか

はい、名前を持たせたいのであれば変数宣言しなければ成りません。

アロー関数に関しての知識がないように見受けられるのでその辺も学習なさってください。

3、2だとすればnew Promise内で呼んでいるtest関数はなぜエラーにならないのか

testを変数宣言しなかったため、ブラウザ側で勝手に変数宣言されてるからです。

つまりブラウザ側の解釈は次のようになります。

+++ var test = (data) => {
+++	var tell;
+++	data.map(tell);// 当然ながら空の変数である
	tell = (data) => {// これ以降よりtellにアロー関数が代入されている
		const full_name = data.family_name + " " + data.first_name;
		data.full_name = full_name;
+++	};
	return data;
}

この辺りのカラクリはvar文を見ると良いでしょう。

冒頭でも書きましたが変な省略の仕方はブラウザの勝手な解釈があるため地獄です。
変数宣言・初期化などはしっかりなさってください。