【数理考古学】群論とシミュレーション原理①これまでの投稿内容のまとめ。
吃驚するほどグチャグチャになってしまったので整理を試みます。
#オイラーの公式(Eulerien Formula)
これもその演算結果集合が「半径1の単位円」を観測結果集合とする円周群=リー群[tex:S_0]=1次元トーラスに対応する演算の一つで、角度θによって円周上の位置を指定する事が出来ます。
e^{iθ}=(1±\frac{πi}{n})^n=\cos(θ)+sin(θ)i\\
特にθ=πラジアン(180度)の時\\
e^{πi}=-1
この演算からは三角関数と指数・対数関数の関係、微積分の意味などを明らかにする事が出来ます。
等速円運動についての物理学と数学の立場の違い?
- $\cos(θ)=\frac{e^{θi}+e^{-θi}}{2}$
- $\sin(θ)=\frac{e^{θi}-e^{-θi}}{2i}$
- $e^{ix}\frac{d^n}{dθ^n}=(i e^{i x}(-\log ix),-e^{ix},-i e^{i x}(\log ix),e^{ix},…)$
- $\int \int \int … \int e^{ix}(dθ)=(- i e^{i x}(\log ix),- e^{i x},i e^{i x}(-\log ix),e^{ix},…)$
式形$(1±\frac{πi}{n})^n$はベルヌーイがネイピア数を導出するのに使った式の応用です。
【数理考古学】冪乗算(Exponentiation)の微積分
lim_{n \to \infty}(1±\frac{1}{n})^n=lim_{t \to 0}(t+1)^{1/t}=e^1(2.71828)
この式を用いれば「(実数冪のそれとは明らかに異なる)虚数冪の対数写像の振る舞い」を観測する事が出来るのです。
【Rで球面幾何学】「世界で一番美しい公式」オイラーの等式の罠？
逆を言えば、この演算結果集合が「半径1の単位円」を観測結果集合とする円周群=リー群[tex:S_0]=1次元トーラスに対応するのはネイピア数の近似が十分な精度以上の場合に限られるという事になります。
そんな感じで以下続報…