デカルト座標系(Cartesian Coordinate System)あるいは直交座標系(Orthogonal Coordinate System)における基底ベクトルと位置ベクトルの設定は以下となります。

二次元(xy/rθ座標系)の場合

2次元極座標系の運動方程式

xy座標系

e_x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},e_y=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\
r=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=xe^x+ye^y

対応する極座標系(Polor Coordinate System)(r,θ)への変換式

e_r=\sin(θ)e^x+\cos(θ)e^y\\
e_θ=-\sin(θ)e^x+\cos(φ)e^y

デカルト座標系(x,y,z)への逆変換式

e_x=\cos(θ)e^r-\sin(θ)e^θ\\
e_y=\sin(θ)e^r+\cos(θ)e^θ

三次元(xyz/rθφ座標系)の場合

極座標系の基底ベクトル

e_x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},e_y=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},e_z=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\
r=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=xe^x+ye^y+ze^z

対応する極座標系()(r,θ,φ)への変換式

e_r=\sin(θ)\cos(φ)e^x+\sin(θ)\sin(φ)e^y+\cos(θ)e^z\\
e_θ=/cos(θ)\cos(φ)e^x+\cos(θ)\sin(φ)e^y-\sin(θ)e^z\\
e_φ=　-\sin(φ)e^x+\cos(φ)e^y

デカルト座標系(x,y,z)への逆変換式

e_x=\sin(θ)\cos(φ)e^r+\cos(θ)\cos(φ)e^θ-\sin(θ)e^φ\\
e_y=\sin(θ)\sin(φ)e^r+\cos(θ)\sin(φ)e^θ+\cos(θ)e^φ\\
e_z=　\cos(φ)e^r-\sin(φ)e^θ

とりあえず、以下続報…