はじめに

統計学で母比率・母平均の検定を行う際、しばしば混乱しやすいポイントとして「帰無仮説の値 ( p_0 )（または ( \mu_0 )）と標本値 ( \hat{p} )（または ( \bar{x} )）の位置」および「検定統計量の符号（プラス・マイナス）」の扱いがある．

本記事では，母比率・母平均・母分散の検定における符号の意味，式の入れ替えの可否，そして分布表を使う際の正しい見方を整理する．

1. 母比率の検定における符号の扱い

母比率の検定統計量は，標本比率 (\hat{p})，母比率の仮定値 (p_0)，標本サイズ (n) に対して次のように定義される．

$$
z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}
$$

順序を逆にすると，

$$
z' = \frac{p_0 - \hat{p}}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} = -z
$$

となり，符号が反転するだけである．
絶対値 (|z|) は同じであり，検定結果（p値や棄却・採択の判断）には影響しない．

検定の種類	よく使われる式	z の符号	意味
右側検定（( p > p_0 )）	( z = \frac{\hat{p} - p_0}{SE} )	正	標本比率が大きいほど右側棄却域
左側検定（( p < p_0 )）	( z = \frac{p_0 - \hat{p}}{SE} )	負	標本比率が小さいほど左側棄却域
両側検定	どちらでも可	±両側	絶対値で判断

したがって，(p_0) と (\hat{p}) の順序を入れ替えても問題はない．
検定の方向に合わせて z の符号をわかりやすくするために入れ替えることがある．

母平均の場合も同様である．
標本平均 (\bar{x})，母平均の仮定値 (\mu_0)，標本サイズ (n)，母標準偏差 (\sigma) に対して：

$$
z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
$$

順序を入れ替えると，

$$
z' = \frac{\mu_0 - \bar{x}}{\sigma / \sqrt{n}} = -z
$$

やはり符号が反転するだけである．

母平均の検定でも，符号が逆転しても検定結果は変わらない．

母分散の検定ではカイ二乗統計量を用いる．

$$
\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}
$$

この式には「差」ではなく「比」が使われているため，符号（＋／−）の概念がない．
したがって，「入れ替え」や「符号反転」という発想自体が不要である．

検定の種類	棄却域	備考
右側検定（母分散が大きい）	右側の χ²値以上	大きい方が棄却域
左側検定（母分散が小さい）	左側の χ²値以下	小さい方が棄却域

母分散の検定では符号の問題は生じない．

これらの分布は左右対称である．

$$
P(Z > a) = P(Z < -a)
$$

したがって，z が正でも負でも，確率（p値）は同じである．

したがって，表が右側確率しか載っていない場合でも，z の絶対値を使えばよい．

標準正規分布表が右側確率を示している場合：

左側検定で ( z = -1.65 ) となっても，

$$
P(Z < -1.65) = P(Z > 1.65) = 0.05
$$

となるため，符号を気にせず絶対値で表を引けばよいのである．

zやtの符号は方向を示すだけである．
分布表を使う際は 絶対値を取って右側確率表から読めばよい．
母比率・母平均では符号が反転しても結果は変わらず，母分散ではそもそも符号の概念が存在しない．

検定対象	符号を入れ替えると	検定結果に影響するか	備考
母比率	z の符号が反転	影響なし	左右どちらの検定かに応じて使い分ける
母平均	z の符号が反転	影響なし	同様に方向だけが変わる
母分散	変化なし（比）	影響なし	カイ二乗分布は非対称だが符号概念なし
分布表	z の絶対値を使えばよい	安全	対称性により符号の影響なし

符号の扱いに悩むのは，統計を学ぶ上で誰もが一度は通る道である．
本質的には「符号は方向の指標にすぎない」という点を理解すれば，どの検定でも自信をもって分布表を扱うことができる．

ポイント：